LGV定理

LGV定理用于解决路径不相交问题。

定理

有 \(n\) 个起点 \(1, 2, 3, ..., n\)，它们 分别对应 要到 \(n\) 个终点 \(A, B, C, ..., X\)，并且要求路径点不相交。求方案数。

设 \(e_{i, W}\) 表示从起点 \(i\) 到终点 \(W\) 的方案数。则最终答案为：

\[\begin{vmatrix}
e_{1, A} & e_{1,B} & ... & e_{1, X}\\
e_{2, A} & e_{2, B} & ... & e_{2, X}\\
... & ... & ... & ...\\
e_{n, A} & e_{n, B} & ... &
e_{n, X}\end{vmatrix}\]

（这俩竖线是行列式的意思）

其中 \(n = 2\) 的情况挺好理解的，因为它表示出来是:

\[\begin{vmatrix}
e_{1, A} & e_{1, B}\\
e_{2, A} &
e_{2, B}\end{vmatrix}\]

即：

\[e_{1, A} * e_{2, B} - e_{1, B} * e_{2, A}
\]

前面部分是不考虑“不相交”的合法方案数。但是可能会有相交的情况。我们发现如果在第一个相交点的地方偷偷的交换一下路径的来源，那么每一种不合法路径唯一对应一种 1 到 \(B\)，2 到 \(A\) 的路径；同时每一种 1 到 \(B\)，2 到 \(A\) 的路径唯一对应一种不合法路径。因此可以用 \(e_{1, B} * e_{2, A}\) 来计算不合法路径。然后容斥即可。

这种方法类似求卡特兰数通项公式的方法。

实际上 \(n > 2\) 的情况也可以用容斥思想感性理解。

例题：CF348D Turtles

\(n = 2\) 时的板子题。直接DP求解出 \(e\)，然后手算行列式即可。