期望概率DP

1419: Red is good

Description

​ 桌面上有\(R\)张红牌和\(B\)张黑牌,随机打乱顺序后放在桌面上,开始一张一张地翻牌,翻到红牌得到1美元,黑牌则付出1美元。可以随时停止翻牌,在最优策略下平均能得到多少钱。

Input

​ 一行输入两个数\(R,B\),其值在0到5000之间

Output

​ 在最优策略下平均能得到多少钱。

Sample Input

​ 5 1

Sample Output

​ 4.166666

HINT

​ 输出答案时,小数点后第六位后的全部去掉,不要四舍五入。

solution

​ 这是我做的第一道期望概率DP题,刚刚看题时有点蒙。听完讲解之后感觉还是挺简单的。

​ 我们用\(f[i][j]\)表示翻了\(i\)张红牌 , 翻了\(j\)张黑牌的最优期望值。

​ 考虑怎么预处理。当全部是红牌时,最优策略肯定是\(i\),即\(f[i][0] = 1\);当全部是黑牌时,还不如不翻牌,最优策略就是0,即\(f[0][i] = 0\)。

​ 再考虑怎么转移。\(f[i][j] = max(0, \frac{i}{i+j}*(f[i - 1][j] + 1) + \frac{j}{i+j}*(f[i][j - 1] - 1)\);每翻一张红牌的概率是\(\frac{i}{i+j}\),它的权值是\(f[i - 1][j] + 1\)。黑牌同理。

​ 由于这道题的空间限制是\(64MB\),所以要用到滚动数组。我们更新当前状态时只与上一次有关,将第一位开2的大小就好了。

#include <iostream>
#include <cstdio> using namespace std; const int N = 5001;
int n, m;
double f[3][N]; double max(double a, double b) {
if(a >= b) return a;
return b;
} int main() { freopen("e.in","r",stdin);
freopen("e.out","w",stdout); cin >> n >> m;
for(int i = 1;i <= n; i++) {
f[i % 2][0] = i;
for(int j = 1;j <= m; j++) {
f[i % 2][j] = max(0, ((double)i/(i + j) * (f[(i - 1) % 2][j] + 1)) + ((double)j/(i + j) * (f[i % 2][j - 1] - 1)));
}
} printf("%.6f", f[n % 2][m] - 0.0000005); //小数点第六位后面的都去掉 fclose(stdin); fclose(stdout);
return 0;
}

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