Codeforces Round #295 (Div. 2) B. Two Buttons (DP)

• 题意:有两个正整数\(n\)和\(m\),每次操作可以使\(n*=2\)或者\(n-=1\),问最少操作多少次使得\(n=m\).

• 题解:首先,若\(n\ge m\),直接输出\(n-m\),若\(2*n>=m\),分\(m\)的奇偶判断一下,如果是奇数就输出\(n-(m+1)/2+2\),是偶数就输出\(n-m/2+1\).否则我们就需要用dp来求解,因为是求最小值,所以先初始化将所有值设为\(INF\),\(dp[i]\)表示从\(n\)到\(m\)的操作次数最少的最优解,首先需要更新\([1,n]\)的状态,这个不难写,\(dp[i]=dp[i+1]+1\),然后我们就可以从\(1\)开始枚举到\(m\),而我们当前的状态\(dp[i]\)可以更新后面的状态\(dp[i*2]\),这步应该不难想,这儿的难点是我们需要更新一些奇数的状态,比如\(n=2\),我们刚开始可以更新\(dp[4]\),然后到\(n=3\)的时候发现\(3\)只能通过\(4\)更新得到,而\(dp[4]\)由\(dp[2]\)更新过了,所以我们可以通过\(dp[4]\)来更新\(dp[3]\),于是每次遍历我们更新两个状态,一个是自己的状态\(dp[i]=min(dp[i],dp[i+1]+1)\),一个是后面的数的状态\(dp[i*2]=min(dp[i*2],dp[i]+1)\).

• 代码:

  int n,m;
  int dp[N];
  
  int main() {
      //ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
      n=read(),m=read();
  
      if(n>=m){
          printf("%d\n",n-m);
          return 0;
      }
  
      if(m<=2*n){
          if(m&1){
              int cnt=(m+1)/2;
              printf("%d\n",n-cnt+2);
          }
          else printf("%d\n",n-m/2+1);
          return 0;
      }
      me(dp,INF,sizeof(dp));
      dp[n]=0;
      for(int i=n-1;i>=1;--i) dp[i]=dp[i+1]+1;
  
      for(int i=1;i<=m;++i){
          dp[i]=min(dp[i],dp[i+1]+1);
          dp[i*2]=min(dp[i*2],dp[i]+1);
      }
  
      printf("%d\n",dp[m]);
  
      return 0;
  }