[Luogu P2014]选课 (树形DP)
题面
传送门:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2014
Solution
这是一道十分经典的树形DP题,这种类型的树形DP有一种很普遍的解法。
首先,观察题目,我们把这道题转换一下:给定一颗树,选出包含1号节点(根)的一颗子树,使得点权和最大。
我们可以这样子定义状态:
设f[i][j] 表示以i为根节点的子树,选出j个节点,所能达到的最大点权值。
对于二叉树来说,转移很显然,就是枚举左子树分配多少个节点,就可以对应的得出右子树能分配到多少个节点,对所有情况取最大值就好。
对于多叉树来说,问题就没有那么简单了,这里,我们有两个方案可以解决这个问题:
一是多叉树转二叉树,
二是树上背包。
因为我不会多叉树转二叉树,所以在这里我主要讲一讲第二种方法。
我们一般在树上做的是多重背包问题。
我以本题为例子,讲一下树上如何做多重背包。
首先,我们肯定要一层循环枚举子树(可以类似为背包问题中枚举第几件物品)。
第二层循环我们得枚举当前以节点的子树能分配的节点数(可以类似为背包问题中枚举背包容量)
*这一层循环一定要从后往前枚举,类似与背包压在一维做的做法*
第三层循环我们就可以枚举当前子树分配多少个节点了(可以类似多重背包中枚举第i件物品要几件)
下面是这种枚举在这道题应用的代码:
- 1 for(int i=0;i<int(e[x].size());i++)//枚举子树
- 2 {
- 3 int temp=dfs(e[x][i]);//先把子树的f递归下去算出来
- 4 tot+=temp;//tot记录到当前子树为止总节点数
- 5 for(int j=tot;j>=1;j--)//枚举自己这颗树的总分配数
- 6 for(int k=0;k<=temp;k++)//枚举子树分配多少个节点
- 7 if(j-k>=1)
- 8 f[x][j]=max(f[x][j],f[x][j-k]+f[e[x][i]][k]);
- 9 }
树上背包一般看上去是三重循环,非常恐怖。
但事实上,根据一堆证明(不会证),其复杂度为两重循环。
所以复杂度应该是O(能过)
复杂度是O(N*N*M)
Code
树上背包有成吨的细节,建议参考代码
- #include<iostream>
- #include<cstdio>
- #include<vector>
- using namespace std;
- long long read()
- {
- long long x=0,f=1;char c=getchar();
- while(!isdigit(c)){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
- while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
- return x*f;
- }
- const int N=300+10;
- vector <int> e[N];
- long long n,m,f[N][N],v[N];
- int dfs(int x)
- {
- int tot=1;
- f[x][1]=v[x];
- for(int i=0;i<int(e[x].size());i++)
- {
- int temp=dfs(e[x][i]);
- tot+=temp;
- for(int j=tot;j>=1;j--)
- for(int k=0;k<=temp;k++)
- if(j-k>=1)
- f[x][j]=max(f[x][j],f[x][j-k]+f[e[x][i]][k]);
- }
- return tot;
- }
- int main()
- {
- n=read(),m=read();
- for(int i=0;i<=n;i++)
- e[i].reserve(4);
- for(int i=1;i<=n;i++)
- {
- e[read()].push_back(i);
- v[i]=read();
- }
- dfs(0);
- printf("%lld",f[0][m+1]);
- return 0;
- }
正解(c++)
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