数论之prufer序列

定义

\(Prufer\) 数列是无根树的一种数列。

在组合数学中，\(Prufer\) 数列由有一个对于顶点标过号的树转化来的数列，点数为 \(n\) 的树转化来的 \(Prufer\) 数列长度为 \(n-2\)。

构造

对于一棵确定的无根树，对应着唯一确定的 \(prufe\) r序列

无根树转化为prufer序列

一种生成 \(\text{prufer}\) 序列的方法是迭代删点，直到原图仅剩两个点。

对于一棵顶点已经经过编号的树 \(T\)

顶点的编号为 \(1,2,\dots,n\)

在第 $ x$ 步时，移去所有叶子节点（度为 \(1\) 的顶点）中标号最小的顶点和相连的边

并把与它相邻的点的编号加入$\text{prufer} $序列中，重复以上步骤直到原图仅剩两个顶点。

prufer序列转化为无根树

设$ \langle a_1,a_2,\dots,a_{n-2}\rangle$ 为一棵有 \(n\) 个节点的树的 $ \text{prufer}$ 序列

另建一个集合 \(\Bbb G=\{1,2,3,\dots,n\}\)

找出 $\Bbb G $ 中最小的未在 $\text{prufer} $序列中出现过的数

将该点与\(\text{prufer}\) 序列中首项连一条边，并将该点和 \(\text{prufer}\) 序列首项删除

重复操作 \(n-2\) 次，将集合中剩余的两个点之间连边即可。

推论

\(1\)、通过构造过程可知，每个点在度数为 \(1\) 时被删去

其余时刻被加入 $\text{prufer} $ 序列一次则它的度数减少一

所以每个点在$\text{prufer} $ 序列中的出现次数为它的度数 \(d-1\)

\(2\)、\(n\) 个点的有标号的无根树的计数 \(n^{n-2}\)

\(3\) 、\(n\) 个点的有标号的有根树的计数 \(n^{n-1}\)

\(4\)、\(n\)个节点的度依次为\(d_1,d_2,…,d_n\) 的无根树共有 \(\frac{(n-2)!}{ \prod_{i=1}^n(d_i-1)!}\) 个