参考:

  1. https://oi-wiki.org/geometry/inverse/
  2. https://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/16966369
  3. https://jingyan.baidu.com/article/77b8dc7f8a792e6174eab623.html

知识点:圆的反演

反演中心 O,半径R,若 P 与 P' 满足:

  1. 点 \(P'\) 在射线\(\overrightarrow {OP}\)上
  2. \(|OP|\cdot |OP'| = R^2\)

则 P' 是 P 关于 圆 O 的反演

性质:

  1. 圆外反演到圆内,反之亦然,圆O上的点反演为其自身
  2. 不过点O的圆A,其反演的圆也不过点O
  3. 过O的圆A,其反演图像是过点O的直线
  4. 两个圆相切,则他们的反演图像也相切

反演公式:

记圆O半径\(R\),圆心坐标\((x_0,y_0)\)

圆A半径\(r_1\),圆心坐标\((x_1, y_1)\)

则圆A关于圆O的反演:圆B的半径为:

\[r_2={1\over 2}R^2({1\over |OA|-r_1}-{1\over |OA|+r_1})
\]

另外圆心B与O的距离\(|OB|\) 有:

\[r_2={1\over 2}R^2({1\over |OA|-r_1}+{1\over |OA|+r_1})
\]

圆心B坐标:

\[x_2 = x_0 + {|OB|\over|OA|} (x1 - x_0) \\ y_2 = y_0 + {|OB|\over|OA|} (y1 - y_0)
\]
//圆 c 关于 p 反演所得到的圆
circle inverse(circle c, Point p, db R){
db OA = c.p.distance(p);
db x = OA - c.r, y = OA + c.r;
circle res;
res.r = 0.5 * R * R * (1.0/x - 1.0/y);
db OB = 0.5 * R * R * (1.0/x + 1.0/y);
res.p = p + (c.p - p) * (OB/OA);
return res;
}
// AB直线关于圆P反演
circle inverse_l2c(Point p, Point A, Point B, db R){
circle res;
Point q = lineprog(p, A, B); //p在AB上面的映射
db dis = q.distance(p);
res.r = R * R * 0.5 / dis;
res.p = p + (q - p) / dis * res.r;
return res;
}

回到这一题:

根据性质3可以知道,反演不改变相切的关系,所以关于圆P(半径随意定),将两个圆反演,求出这两个圆的切线,然后再将切线反演后,得到与原本的两个圆相外切的两个圆

将两个圆反演之后,这两个圆只需要求外公切线即可,并且这个外公切线,还需要满足一些条件才能被选做答案

首先为什么要求外公切线:

设点A在圆B上

圆B关于圆A反演得到直线CD,现在圆E是内切于圆B中,关于圆A反演得到圆F,可以发现圆心F,与点A是在CD异侧的,其实这个现象不难解释,从圆反演的定义即可推导出。

那么相反的,如果一个圆外切于圆B,那么关于圆A的反演得到的圆的圆心,一定与A在CD的同侧。

这样就解释了为什么题目中的两个圆反演之后需要求外公切线,另外,这条外公切线还必须使得点A和那两个反演圆的圆心在同侧

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
#define dbg(x...) do { cout << "\033[32;1m" << #x <<" -> "; err(x); } while (0)
void err() { cout << "\033[39;0m" << endl; }
template<class T, class... Ts> void err(const T& arg,const Ts&... args) { cout << arg << " "; err(args...); }
typedef double db;
const db eps = 1e-8;
const db pi = acos(-1);
int sgn(db x){
if(fabs(x) < eps)return 0;
if(x > 0) return 1;
else return -1;
}
inline db sqr(db x){return x * x; }
struct Point{
db x, y;
Point(){}
Point(db x, db y):x(x),y(y){}
void input(){
scanf("%lf%lf", &x, &y);
}
Point operator - (const Point &b){
return Point(x - b.x, y - b.y);
}
db operator ^ (const Point b){
return x * b.y - y * b.x;
}
db operator * (const Point b){
return x * b.x + y * b.y;
}
Point operator + (const Point &b){
return Point(x + b.x, y + b.y);
}
db distance(const Point &b){
return hypot(x-b.x, y-b.y);
}
Point operator *(const db &k)const{
return Point(x * k, y * k);
}
Point operator /(const db &k)const{
return Point(x / k, y / k);
}
Point rotleft(){
return Point(-y, x);
}
db len2(){
return x * x + y * y;
}
}p, a[10], b[10];
// p 在 AB 的投影
Point lineprog(Point p, Point A, Point B){
return A + ( ( (B-A) * ((B-A) * (p-A)) ) / (B-A).len2());
}
struct circle{
Point p;
db r;
circle(){}
circle(Point p, db r):p(p),r(r){}
void input(){
p.input();
scanf("%lf", &r);
}
Point point(double a){
return Point(p.x + cos(a) * r, p.y + sin(a) * r);
}
}c1, c2;
/*
getTangents 函数求出了所有的公切线,由于题目保证了两个圆没有公共点,那么这两个点一定会有四条公切线,我们只需要前两条即外公切线。
*/
// a[i] 存放第 i 条公切线与 圆A 的交点
int getTangents(circle A, circle B, Point*a, Point *b){
int cnt = 0;
// 以A为半径更大的那个圆进行计算
if(A.r < B.r) return getTangents(B, A, b, a);
db d2 = (A.p-B.p).len2(); // 圆心距平方
db rdiff = A.r - B.r; // 半径差
db rsum = A.r + B.r; //半径和
if(d2 < rdiff * rdiff) return 0; // 情况1,内含,没有公切线
Point AB = B.p - A.p; // 向量AB,其模对应圆心距
db base = atan2(AB.y, AB.x); // 求出向量AB对应的极角
if(d2 == 0 && A.r == B.r) return -1;// 情况3,两个圆重合,无限多切线
if(d2 == rdiff * rdiff){ // 情况2,内切,有一条公切线
a[cnt] = A.point(base);
b[cnt] = B.point(base);cnt++;
return 1;
}
// 求外公切线
db ang = acos((A.r - B.r) / sqrt(d2)); //求阿尔法
// 两条外公切线, 此题所需要的公切线
a[cnt] = A.point(base+ang); b[cnt] = B.point(base+ang); cnt++;
a[cnt] = A.point(base-ang); b[cnt] = B.point(base-ang); cnt++;
if(d2 == rsum * rsum){ // 情况5,外切,if里面求出内公切线
a[cnt] = A.point(base); b[cnt] = B.point(pi+base); cnt++;
}
else if(d2 > rsum * rsum){ //情况6,相离,再求出内公切线
db ang = acos((A.r + B.r) / sqrt(d2));
a[cnt] = A.point(base + ang); b[cnt] = B.point(pi+base+ang);cnt++;
a[cnt] = A.point(base - ang); b[cnt] = B.point(pi+base-ang);cnt++;
}
// 此时,d2 < rsum * rsum 代表情况 4 只有两条外公切线
return cnt;
}
//圆 c 关于 p 反演所得到的圆
circle inverse(circle c, Point p, db R){
db OA = c.p.distance(p);
db x = OA - c.r, y = OA + c.r;
circle res;
res.r = 0.5 * R * R * (1.0/x - 1.0/y);
db OB = 0.5 * R * R * (1.0/x + 1.0/y);
res.p = p + (c.p - p) * (OB/OA);
return res;
}
// 由直线反演得到圆
circle inverse_l2c(Point p, Point A, Point B, db R){
circle res;
Point q = lineprog(p, A, B);
db dis = q.distance(p);
res.r = R * R * 0.5 / dis;
res.p = p + (q - p) / dis * res.r;
return res;
}
// 判断点CD 是否在 AB 同侧
bool sameside(Point A, Point B, Point C, Point D){
return sgn((C-A) ^ (B-A)) == sgn((D-A) ^ (B-A));
}
int main(){
int T;scanf("%d", &T);
while(T--){
c1.input();
c2.input();
p.input();
c1 = inverse(c1, p, 1.0);
c2 = inverse(c2, p, 1.0);
int cnt = getTangents(c1, c2, a, b);
vector<circle> res;
for(int i=0;i<2;i++){
if(sameside(a[i], b[i], c1.p, c2.p) && sameside(a[i], b[i], c1.p, p)){
circle t = inverse_l2c(p, a[i], b[i], 1.0);
res.push_back(t);
}
}
printf("%d\n",(int)res.size());
for(int i=0;i<res.size();i++){
circle t = res[i];
printf("%.8f %.8f %.8f\n", t.p.x, t.p.y, t.r);
}
}
return 0;
}

HDU-4773 Problem of Apollonius (圆的反演)的更多相关文章

  1. hdu 4773 Problem of Apollonius

    莫名其妙就AC了-- 圆的反演-- 神马是反演? 快去恶补奥数-- #include<iostream> #include<map> #include<string> ...

  2. 【HDU】4773 Problem of Apollonius

    题意 给定相离的两个圆(圆心坐标以及半径)以及圆外的一个定点\(P\),求出过点\(P\)的且与已知的两个圆外切的所有圆(输出总数+圆心.半径). 分析 如果强行解方程,反正我是不会. 本题用到新姿势 ...

  3. 2017多校第6场 HDU 6097 Mindis 计算几何,圆的反演

    题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6097 题意:有一个圆心在原点的圆,给定圆的半径,给定P.Q两点坐标(PO=QO,P.Q不在圆外),取圆 ...

  4. 【 HDU4773 】Problem of Apollonius (圆的反演)

    BUPT2017 wintertraining(15) #5G HDU - 4773 - 2013 Asia Hangzhou Regional Contest problem D 题意 给定两个相离 ...

  5. Pick定理、欧拉公式和圆的反演

    Pick定理.欧拉公式和圆的反演 Tags:高级算法 Pick定理 内容 定点都是整点的多边形,内部整点数为\(innod\),边界整点数\(ednod\),\(S=innod+\frac{ednod ...

  6. 「HDU6158」 The Designer(圆的反演)

    题目链接多校8-1009 HDU - 6158 The Designer 题意 T(<=1200)组,如图在半径R1.R2相内切的圆的差集位置依次绘制1,2,3,到n号圆,求面积之和(n< ...

  7. The Designer (笛卡尔定理+韦达定理 || 圆的反演)

    Nowadays, little haha got a problem from his teacher.His teacher wants to design a big logo for the ...

  8. HOJ 13102 Super Shuttle (圆的反演变换)

    HOJ 13102 Super Shuttle 链接:http://49.123.82.55/online/?action=problem&type=show&id=13102 题意: ...

  9. 圆的反演变换(HDU4773)

    题意:给出两个相离的圆O1,O2和圆外一点P,求构造这样的圆:同时与两个圆相外切,且经过点P,输出圆的圆心和半径 分析:画图很容易看出这样的圆要么存在一个,要么存在两个:此题直接解方程是不容易的,先看 ...

随机推荐

  1. 接口的不同写法在Swagger上的不同

    接口请求方法类型 (1) 如果接口没有指定请求的 method 类型,例如 GET.POST.PUT.DELETE 等. Swagger中 (2)指定了请求方法后 Swagger中就只有一个GET请求 ...

  2. 解决Establishing SSL connection without server‘s identity verification is not recommended.

    每次从数据库中进行查询或者其他操作控制台都会出现以下警告,虽说不是error,但是很显眼.. WARN: Establishing SSL connection without server's id ...

  3. SpringBoot配置文件(2)

    六.配置文件加载 SpringBoot 启动会扫描以下位置的application.properties或者application.yml文件作为SpringBoot的默认配置文件 file:./co ...

  4. linux源码安装软件的一般方法

    rhel系统貌似安装不了xmgrace,配置的时候居然说要那个M*tif库.百度了一下,需要openmotif库,然后用root账户想要用yum安装一下这个库,搞了好久没搞懂.后面搞明白了,原因竟是因 ...

  5. HAProxy-1.8.20 根据后缀名转发到后端服务器

    global maxconn 100000 chroot /data/soft/haproxy stats socket /var/lib/haproxy/haproxy.sock mode 600 ...

  6. 【Docker】Docker概述、理解docker的集装箱、标准化、隔离的思想、 docker出现解决了什么问题

    整理一下 慕课网 第一个docker化的java应用 Docker环境下的前后端分离项目部署与运维 课程时所做的笔记 Docker概述 docker - https://www.docker.com/ ...

  7. C# Twain协议调用扫描仪,设置多图像输出模式(Multi image output)

    Twain 随着扫描仪.数码相机和其他图像采集设备的引入,用户热切地发现了将图像整合到他们的文档和其他工作中的价值.然而,支持这种光栅数据的显示和操作成本很高,应用程序开发人员需要创建用户界面并内置设 ...

  8. 网络流量预测入门(二)之LSTM介绍

    目录 网络流量预测入门(二)之LSTM介绍 LSTM简介 Simple RNN的弊端 LSTM的结构 细胞状态(Cell State) 门(Gate) 遗忘门(Forget Gate) 输入门(Inp ...

  9. javax.servlet.ServletException: No adapter for handler

    问题描述: 我的web.xml如下: <?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?> <web-app xmln ...

  10. 解决 minicom 不能接收键盘输入问题

    今天突然minicom 不能接受键盘输入了.早上的时候在其他设备上不能识别usb转串口的设备,重新启动电脑后,恢复正常了.下午又出现minicom 不接收键盘输入. 百度了一下解决了. 解决方法 由于 ...