Dijkstra 最短路径算法 秒懂详解

想必大家一定会Floyd了吧，Floyd只要暴力的三个for就可以出来，代码好背，也好理解，但缺点就是时间复杂度高是O(n³)。

于是今天就给大家带来一种时间复杂度是O(n²)，的算法：Dijkstra（迪杰斯特拉）。

这个算法所求的是单源最短路，好比说你写好了Dijkstra的函数，那么只要输入点a的编号，就可算出图上每个点到这个点的距离。

我先上一组数据（这是无向图）：

图大概是这个样子：

Dijkstra 算法是一种类似于贪心的算法，步骤如下：

1、当到一个时间点时，图上部分的点的最短距离已确定，部分点的最短距离未确定。

2、选一个所有未确定点中离源点最近的点，把他认为成最短距离。

3、再把这个点所有出边遍历一边，更新所有的点。

下面模拟一下：

我们以1为源点，来求所有点到一号点的最短路径。

先建立一个dis数组，dis[i]表示第i号点到源点（1号点）的估计值，你可能会问为什么是估计值，因为这个估计值会不断更新，更新到一定次数就变成答案了，这个我们一会再说。

然后我们在建立一个临界矩阵，叫做：map，map[i][j]=v表示从i到j这条边的权值是v。

dis初始值除了源点本身都是无穷大。源点本身都是0.

先从1号点开始。一号点，map[1][2]=5,一号点离2号点是5，比无穷大要小，所以dis[2]从无穷大变成了5。顺便，我们用minn记录距离1号点最短的点，留着以后会用。

dis[0,5,∞,∞,∞]。minn=2。

然后搜到3号点，map[1][3]=8,距离是8，比原来的dis[3]的∞小，于是dis[3]=8。但是8比dis[2]的5要大，所以minn不更新。

dis[0,5,8,∞,∞]

接着分别搜索4,5号点，发现map[1][4],map[1][5]都是∞，所以就不更新。

现在，dis数组所呈现的明显不是最终答案，因为我们才更新一遍，现在我们开始第二次更新，第二次更新以什么为开始呢？就是以上一次我们存下来的，minn，相当于把2当源点，求所有点到它的最短路，加上它到真正的源点（1号点）的距离，就是我们要求的最短路。

从2号点开始，搜索3号点，map[2][3]=1，原本dis[3]=8，发现dis[2]+map[2][3]=5+1=6<dis[3](8)所以更新dis[3]为6，minn=3

dis[0,5,6,∞,∞] minn=3.

然后搜索4号点，map[2][4]=3,原本dis[4]=∞,所以，dis[2]+map[2][4]=5+3=8<dis[4](∞)所以更新dis[4]=8,因为map[2][4]=3,3>1,minn不更新。

dis[0,5,6,8,∞] minn=3.

接着搜索5号点，map[2][5]=2,5+2=7,7<∞,dis[5]=7minn不变。

dis[0,5,6,8,7]

二号点搜完，因为minn是3，继续搜索3号点。

三号点还是按照二号点的方法搜索，发现没有可以更新的，然后搜索四号。

四号搜5号点，发现8+7>5+2,所以依然不更新，然后跳出循环。

现在的估计值就全部为确定值了：

dis[0,5,6,8,7]

这就是每个点到源点一号点的距离，我们来看一下代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
using namespace std;
int map[][];//这就是map数组，存储图
int dis[];//dis数组，存储估计值
int book[];//book[i]代表这个点有没有被当做源点去搜索过，1为有，0为没有。这样就不会重复搜索了。
int n,m;
void dijkstra(int u)//主函数，参数是源点编号
{
    memset(dis,,sizeof(dis));//把dis数组附最大值（88不是十进制的88，其实很大）
    int start=u;//先从源点搜索
    book[start]=;//标记源点已经搜索过
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        dis[i]=min(dis[i],map[start][i]);//先更新一遍
    }
    for(int i=;i<=n-;i++)
    {
        int minn=;//谢评论区，改正一下：这里的minn不是题解上的minn，这代表的是最近点到源点的距离，start才代表最近的点、
        for(int j=;j<=n;j++)
            if(book[j]== && minn>dis[j])
            {
                minn=dis[j];
                start=j;//找到离源点最近的点，然后把编号记录下来，用于搜索。
            }
        book[start]=;
        for(int j=;j<=n;j++)
            dis[j]=min(dis[j],dis[start]+map[start][j]);//以新的点来更新dis。
    }
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    memset(map,,sizeof(map));
    for(int i=;i<=m;i++)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        map[a][b]=c;
    }
    for(int i=;i<=n;i++)
        for(int j=;j<=n;j++)
            if(i==j)
                map[i][j]=;
    dijkstra();//以1为源点。
    for(int i=;i<=n;i++)
        cout<<dis[i]<<" ";
}

这就是用邻接矩阵实现dijkstra，但是这个算法有一个坏处，就是出现负权边，这个算法就炸了，要解决负权边，我以后会给大家带来Bell man ford（SPFA）

这个算法的复杂度是O(n²)，空间复杂度也是n平方，如果用邻接表来实现，最差情况，时间复杂度是O(n*m)似乎比n²要大一些，但是空间复杂度会从n平方变成m，少了很多，现在我呈上邻接表的代码。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
using namespace std;
int value[],to[],next[];
int head[],total;
int book[];
int dis[];
int n,m;
void adl(int a,int b,int c)
{
    total++;
    to[total]=b;
    value[total]=c;
    next[total]=head[a];
    head[a]=total;
}
void dijkstra(int u)
{
    memset(dis,,sizeof(dis));
    memset(book,,sizeof(book));
    dis[u]=;
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        int start=-;
        for(int j=;j<=n;j++)
            if(book[j]== && (dis[start]>dis[j] || start==-))
                start=j;
        book[start]=;
        for(int e=head[start];e;e=next[e])
            dis[to[e]]=min(dis[to[e]],dis[start]+value[e]);
    }
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=;i<=m;i++)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        adl(a,b,c);
     }
     dijkstra();
     for(int i=;i<=n;i++)
         cout<<dis[i]<<" ";
}

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一年多了，身为一个OIer，经历了太多。

当年那么畏惧的Dijkstra、邻接表，现在已经是信手拈来。

那个暑假，因为Djkstra名字的朗朗上口，讲自己名字改为了Dijkstra，但是逐渐因为SPFA的可处理负权边，也将Dijkstra,淡忘。

如今突然想起，加入了堆优化，有人说：一道题如果边权没有负数，那么一定是在卡SPFA。这时候就用到了堆优化的Dijkstra。

一年前提到，朴素的Dijkstra时间复杂度是n^2，被SPFA的m*常数吊打，但是，经过堆优化，Dijkstra的时间复杂度能达到nlogn，如果这个图特别稠密的话，也就是m特别大（比如完全图就是n^2），那么nlogn是要小于m的，这就用到了Dijkstra

首先堆优化怎么优化？观察上面的代码，每次循环中都再嵌套一个循环求dis值最小的点。这里，我们可以用一个优先队列，每当搜索到一个新点，扔到优先队列里面，这样每次就取队首的绝对是最优值。这样可以省去for循环。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define in(a) a=read()
#define REP(i,k,n) for(long long i=k;i<=n;i++)
#define MAXN 10010
using namespace std;
typedef pair<long long,long long> P;
inline long long read(){
    long long x=,t=,c;
    while(!isdigit(c=getchar())) if(c=='-') t=-;
    while(isdigit(c)) x=x*+c-'',c=getchar();
    return x*t;
}
long long n,m,s;
long long total=,head[MAXN],nxt[MAXN<<],to[MAXN<<],val[MAXN<<];
long long dis[MAXN],vis[MAXN];
priority_queue <P, vector<P>,greater<P> > Q;//优先队列优化
inline void adl(long long a,long long b,long long c){
    total++;
    to[total]=b;
    val[total]=c;
    nxt[total]=head[a];
    head[a]=total;
    return ;
}
inline void Dijkstra(){
    REP(i,,n)  dis[i]=;
    dis[s]=;
    Q.push(P(,s));
    while(!Q.empty()){
        long long u=Q.top().second;//取出dis最小的点
        Q.pop();//弹出
        if(vis[u])  continue;
        vis[u]=;
        for(long long e=head[u];e;e=nxt[e])
            if(dis[to[e]]>dis[u]+val[e]){
                dis[to[e]]=dis[u]+val[e];
                Q.push(P(dis[to[e]],to[e]));//插入
            }
    }
    return ;
}
int main(){
    in(n),in(m),in(s);
    long long a,b,c;
    REP(i,,m)  in(a),in(b),in(c),adl(a,b,c);
    Dijkstra();
    REP(i,,n)  printf("%lld ",dis[i]);
}
    

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