bzoj 3328 PYXFIB——单位根反演

题目：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3328

单位根反演主要就是有

\( [k|n] = \frac{1}{k}\sum\limits_{i=0}^{k-1}w_{k}^{i*n} \)

如果 k | n ，转 n 下就会是 1 ；不然用等比数列求和公式可知是 0 。

一般是构造一个 \( f(x) = ( 1+x )^n \) 之类的，来求含有组合数的式子。比如

　　　　　　　　　　　　　\( \sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i*k} = \sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}[ i | k ] \)

　　　　　　　　　　　　　　　\( = \frac{1}{k}\sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}\sum\limits_{j=0}^{k-1}w_{k}^{j*i} \)

　　　　　　　　　　　　　　　\( = \frac{1}{k}\sum\limits_{j=0}^{k-1}\sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}w_{k}^{j*i} \)

　　　　　　　　　　　　　　　\( = \frac{1}{k}\sum\limits_{j=0}^{k-1}(1+w_{k}^{j})^n \)

所以设 \( f(x) = ( 1+x )^n \) ，求 k 次 \( f( w_{k}^{j} ) \) 就行。

对于这道题，为了凑一个二项式的形式，把 \( F[i] \) 看作斐波那契递推矩阵 A 的 \( A^{i}[0][0] \) ，就有

\( ans = \frac{1}{k}\sum\limits_{j=0}^{k-1}\sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}A^{i}w_{k}^{j*i} \)

有两个 i 次却没有 n-i 次，不能直接套。那个 \( w_{k}^{j*i} \) 的 \( w_{k}^{j} \) 与 i 无关，所以设 \( f(x) \) 的时候考虑把 \( w_{k}^{j} \) 作为 \( x \) 。

如果 \( f(x) = ( A+I*x )^n \) ，那么 \( f( w_{k}^{j} ) = \sum\limits_{i=0}^{n}C_{n}^{i}A^{i}w_{k}^{j*(n-i)} \)

想把 \( w_{k}^{j*(n-i)} \) 变成 \( w_{k}^{j*i} \) ，只要令 \( f(x) = x^{-n} ( A+I*x )^n \) ，然后求 \( f( w_{k}^{-j} ) \) 即可。

注意 n 是 long long 。

找原根是枚举 phi( mod ) 的质因子，然后看 \( g^{\frac{phi(mod)}{pri}} \) 。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=2e4+,K=;
ll n;int k,mod,g,wn;
void upd(int &x){x>=mod?x-=mod:;}
int pw(int x,int k)
{int ret=;while(k){if(k&)ret=(ll)ret*x%mod;x=(ll)x*x%mod;k>>=;}return ret;}
void fnd_g()
{
  int pri[K],cnt=,p=mod-,d=p;////p=phi(mod)=mod-1!!
  for(int i=;i*i<=d;i++)
    if(d%i==)
      {pri[++cnt]=i;while(d%i==)d/=i;}
  if(d>)pri[++cnt]=d;
  for(g=;;g++)
    {
      bool flag=;
      for(int i=;i<=cnt;i++)if(pw(g,p/pri[i])==){flag=;break;}
      if(flag)break;
    }
}
struct Mtr{
  int a[][];
  Mtr(){memset(a,,sizeof a);}
  Mtr operator* (const Mtr &b)const
  {
    Mtr c;
    for(int i=;i<=;i++)
      for(int k=;k<=;k++)
    for(int j=;j<=;j++)
      c.a[i][j]=(c.a[i][j]+(ll)a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
    return c;
  }
}A,I;
Mtr pw(Mtr x,ll k)//ll!!!
{Mtr ret=I;while(k){if(k&)ret=ret*x;x=x*x;k>>=;}return ret;}
int main()
{
  A.a[][]=A.a[][]=A.a[][]=;
  I.a[][]=I.a[][]=;
  int T;scanf("%d",&T);
  while(T--)
    {
      scanf("%lld%d%d",&n,&k,&mod);fnd_g();
      int ans=,wn=pw(g,(mod-)-(mod-)/k),ml=(mod--n%(mod-))%(mod-);
      for(int i=,w=;i<k;i++,w=(ll)w*wn%mod)
    {
      Mtr t=A;t.a[][]+=w;t.a[][]+=w;upd(t.a[][]);upd(t.a[][]);
      t=pw(t,n);
      ans=(ans+(ll)t.a[][]*pw(w,ml))%mod;
    }
      ans=(ll)ans*pw(k,mod-)%mod;
      printf("%d\n",ans);
    }
  return ;
}