最大流&最小割 - 专题练习

【例1】【hdu5889】 - 算法结合（BFS+Dinic）

题意

$N$个点$M$条路径，每条路径长度为$1$，敌人从$M$节点点要进攻$1$节点，敌人总是选择最优路径即最短路径来进攻我方，为了阻止敌人，我们要把一些路封死，每条路径封死需要一些花费，求最小花费。

分析

这种题好像好常考呢。

有时候不是BFS，而是SPFA，不过都是差不多的，就是一个逐步满足的思想。

我们首先进行BFS，求出最短路径图。

然后对最短路径图求最小割即可。

【例2】【hdu4289】 - 最少割点

题意

给出一个有$n$个点，$m$条边组成的无向图。给出两个点$s$，$t$。

对于图中的每个点，去掉这个点都需要一定的花费。

求至少多少花费才能使得s和t之间不连通。

分析

现在相当于问：割掉多少个点，能使得S，T不连通。

而割掉多少条边，使S，T不连通是我们会的：直接求最小割。

所以把点变成边即可，做法：把一个点拆成两个，中间用一条容量为1的边连接。

【例3】【hdu3987】 - 割边最少的最小割

题意

求割边最少的最小割。

输出最小割值，以及割边的条数。

分析1 - 扩倍离散化

设边数为$m$，每条边的容量为$c$，则把$c$变为$c*(m+1)+1$

设新图求出来的最小割为$x$，则原图的最小割为$\lfloor{x\over m+1}\rfloor$，最小割边数为${x\mod (m+1)}$

证明：设原图的一个割集为$S$，原图的割的值为$f(S)$，则新图的割的值为$\sum c*(m+1)+1=(m+1)f(S)+|S|$，因为$0\leq |S|<(m+1)$，所以新图的割值可以对应出原图的割值和边数。

分析2 - 逐步满足

建图，得到最大流后，图中边若满流，说明该边是最小割上的边；

再建图，原则：满流的边改为容量为 1 的边，未满流的边改为容量 INF 的边，然后最大流即答案。

小结

（1）最值上的最值：

①扩倍离散化：在不影响元素的时候，把元素附加特性，再转化回去

②逐步满足：先满足第一步的最值，再满足第二步的最值

【例4】【hdu3657】 - 棋盘染色+建模

题意

$n*m$的矩阵，每个位置都有一个正数，一开始你的分数是$0$，当你取走一个数字时，你的分数增加那个分数。如果你取完数字后，新出现了$2$个相邻的都是空的格子，那么你的分数减少$2 * ( x$&$y)$，$x$，$y$是那两个格子的原始数值。

分析

首先，这种相邻格子的问题都会想到它是一个二分图：

横纵坐标为偶数的在左边，横纵坐标为奇数的在右边。

构图如下：

一个超级原点，和左边的点相连接，容量是其权值。

一个超级汇点，右边的点和其连接，容量是其权值。

如果左边的点x和右边的点y相邻，连接x，y容量为2 * (x & y)

用总权值 - 最小割值。

小结

（1）对于这种棋盘上相邻格子的二分图的问题，通常要进行黑白染色。

【例5】【hdu3251】 - 拆点

题意

一个国家的地图是一张$n$个点$m$条边的有向图。

你保卫了国家成为了英雄，现在国王答应给你一些城市。

国王居住在首都，编号为$1$，但他不想随意的到达你的领地，所以你必须破坏一些路，使得从首都到你所拥有的所有城市不连通。

而破坏这些路需要花钱。国王给了你$f$个城市供你选择，每个城市有一个价值。

你最后的总收益=你选择的城市的价值之和-破坏路花费的钱。

现在让你输出最大的收益，以及完成这样的收益应该破坏哪些路。

分析

很巧妙的一道题。

把每个供选择的城市给拆成两个点，容量为城市价值。

然后跑最小割。

小结

（1）如果涉及到点权的问题，通常有两种处理手段：

①拆点，边权为点权

②点连向源或者汇，容量为点权

【例6】【bzoj2756】 - 棋盘游戏 - 二分答案+Dinic

题意

Blinker最近喜欢上一个奇怪的游戏。

这个游戏在一个 $N*M$ 的棋盘上玩，每个格子有一个数。每次 Blinker 会选择两个相邻

的格子，并使这两个数都加上 $1$。

现在 Blinker 想知道最少多少次能使棋盘上的数都变成同一个数，如果永远不能变成同

一个数则输出$-1$。

分析

二分变成的数的大小，就可以求出一个数要被变几次。

而每次是相邻两个边，所以黑白染色，相邻连边。

源点连黑点，容量为需要变的次数；白点连汇点，容量为需要变的次数。

跑最大流判是否满流。

小结

（1）有一种棋盘游戏，满足这样的特性：①给某些满足特定关系的位置增值 ②有目标棋局 ③求变化的最小步数

这类问题通常有两种解决方案：①棋盘染色 ②设未知数，用高斯消元、线性规划等方法

【例7】【bzoj3931】 - 算法结合（SPFA+Dinic）

题意

求最小路径树上的最小割。

分析

逐步满足。

先求SPFA，搞出最小路径树。

再用最小割。