算法----序列和的 top N

Description:

两个长度为 n 的数组 A 和 B， 各从中选出一个元素相加 A[i] + B[j], 求 top n 小的那些和。

思路 1：这样的和总共有 n^2 个， 排序，然后取前 n 个。

时间复杂度 O(n^2 lgn)， 空间复杂度 O(n^2)

思路 2：用 最大堆。

     1. 首先用 n 个和建立一个最大堆，

     2. 然后循环剩余的 n^2 - n 个和，依次与堆顶元素比较（最大值）， 如果小于最大值，则弹出堆顶，push 进入当前的和。

         时间复杂度 O(n^2 lgn), 空间复杂度是 O(n)

思路3： 还是采用 最小堆，并采用 多路合并 的思路。

首先，分析多路合并问题： 把 K 个有序数组合并成一个数组。

1. 将 K 个数组的首元素（最小），建立一个最小堆；

     2. 弹出最小值，并插入新的数组中；将最小值所在的数组的下一个元素插入堆中。这样依次执行下去。

      多路合并的代码见 http://blog.csdn.net/shoulinjun/article/details/19576585

回到我们的问题，将 N^2 个 sum 写成如下的形式：

所有 N^2 个和：(数组 A 和 B 排序后)

A[0] + B[0] <= A[0] + B[1] <= A[0] + B[2] <= ... <= A[0] + B[n-1]

A[1] + B[0] <= A[1] + B[1] <= A[1] + B[2] <= ... <= A[1] + B[n-1]

...............................

A[n-1] + B[0] <= A[n-1] + B[1] <= A[n-1] + B[2] <= ... <= A[n-1] + B[n-1]

注意： 第一步将数组 A 和 B 排序，则上述的 N 个序列都是有序的。

Bingo！ 这时就可以采用与 多路合并 同样的算法：

Algorithm:

1. 将数组 A 和 B 排序；

     2. 用 上述 N 个序列的首元素（最小），建立一个最小堆；

     3. 弹出最小值，即为 top N；将最小值所在的数组的下一个元素插入堆中。这样执行 N 次， 得到 所有的 top N。

Complexity:

O(NlgN) + O(N）+ N*O(lgN) = O(NlgN)

Implementation：

实现细节的话，算法的第 2 步中， 最小值所在的数组的下一个元素如何得到？？ 可以同时记录最小值这个和中所包含的B 中元素的下标。

下一个元素的值就是 min - B[i] + B[i+1]

//copyright @ L.J.SHOU Feb.14, 2014
#include <iostream>
#include <vector>
#include <utility>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <iterator>
using namespace std;
 
//A and B have the same size K
vector<int> TopKSum(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
  vector<int> result;
  priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int> >, greater<pair<int, int> > > Q; 
 
  /* sort */
  sort(A.begin(), A.end());
  sort(B.begin(), B.end());
 
  for(int i=0; i<A.size(); ++i)
    Q.push(make_pair(A[i] + B[0], 0)); /* 0 denotes index in B */
 
  for(int i=0; i<A.size(); ++i)
  {
    pair<int, int> e = Q.top(); Q.pop();
    result.push_back(e.first);
    /* push next element back into heap */
    e.first = e.first - B[e.second] + B[e.second+1];
    e.second ++;
    Q.push(e);
  }
 
  return result;
}
 
int main(void)
{
  vector<int> A, B, sum;
  A.push_back(1);
  A.push_back(2);
  A.push_back(3);
 
  B.push_back(2);
  B.push_back(4);
  B.push_back(4);
 
  sum = TopKSum(A, B);
  /* print vector */
  copy(sum.begin(), sum.end(), ostream_iterator<int>(cout, " "));
  cout << endl;
 
  return 0;
}

思考题：

n 个长度为 n 的数组，每个数组中选出一个元素相加, 求 top n 小的那些 sum。

复杂度： n^2 lgn