Bluestein's Algorithm
网上很少有人提到,写的也很简单,事实上就是很简单...
\(Bluestein's\ Algorithm\),用以解决任意长度\(DFT\)。
考虑\(DFT\)的形式:\[\begin{aligned}y_k&=\sum_{i=0}^{n-1}a_i\omega_n^{ki}\\&=\sum_{i=0}^{n-1}a_i\omega_{2n}^{k^2+i^2-(k-i)^2}\\&=\omega_{2n}^{k^2}\sum_{i=0}^{n-1}a_i\omega_{2n}^{i^2}\omega_{2n}^{-(k-i)^2}\end{aligned}\]
注意到\(\sum\)是个卷积,可以用\(FFT/NTT\)计算。所以\(Bluestein\)的复杂度是\(O(n\log n)\)的。
具体:\(k-i\)可能是负的,所以对后一项右移\(n\)位,令\(f_i=a_i\omega_{2n}^{i^2},\ g_i=\omega_{2n}^{-(i-n)^2}\),那么\(y_k=\omega_{2n}^{k^2}\sum_{i}f_ig_{n+k-i}=\omega_{2n}^{k^2}(f\times g)_{n+k}\)。
\(IDFT\)同理,可以直接令\(\omega_{2n}=\omega_{2n}^{-1}\),代到\(DFT\)的式子里,也可以一样的推一下:\[\begin{aligned}c_k&=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}a_i\omega_n^{-ki}\\&=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}a_i\omega_{2n}^{k^2+i^2-(k+i)^2}\\&=\frac{1}{n}\omega_{2n}^{k^2}\sum_{i=0}^{n-1}a_i\omega_{2n}^{i^2}\omega_{2n}^{-(k+i)^2}\end{aligned}\]
令\(f_i=a_i\omega_{2n}^{i^2},\ g_i=\omega_{2n}^{-(2n-1-i)^2}\),那么\(c_k=\frac{1}{n}\omega_{2n}^{k^2}\sum_if_ig_{2n-1-k-i}=\omega_{2n}^{k^2}(f\times g)_{2n-1-k}\)。
上面是一般的做法(其实就是个\(trick\)),但是\(dls\)指出有更好一些的做法:
像这样写成平方需要\(\omega_{2n}\)(有些题可能不存在\(2n\)次单位根),就可以用:\(ij=\binom{i+j}{2}-\binom i2-\binom j2\)来替换:\(y_k=\omega_n^{-\binom k2}\sum_{i=0}^{n-1}a_i\omega_n^{-\binom i2}\omega_n^{\binom{i+j}{2}}\)。
例题
事实上我觉得除了循环卷积需要任意长度\(DFT\)外,其它地方就用不到了...(应该是我做题少)
1. 正睿 青岛集训 Day4 A.智慧树
见这里。
2. BZOJ.1919.[CTSC2010]性能优化
也是循环卷积裸题...
3. HDU.4656.Evaluation
类似\(Bluestein\)的\(trick\)应用。题解见这里(我就咕咕咕了)。
Bluestein's Algorithm的更多相关文章
- [codeforces 901E] Cyclic Cipher 循环卷积-Bluestein's Algorithm
题目大意: 传送门 给两个数列${B_i}.{C_i}$,长度均为$n$,且${B_i}$循环移位线性无关,即不存在一组系数${X_i}$使得对于所有的$k$均有$\sum_{i=0}^{n-1} X ...
- 再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其三)(循环卷积的Bluestein算法+分治FFT+FFT的优化+任意模数NTT)
再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其三)(循环卷积的Bluestein算法+分治FFT+FFT的优化+任意模数NTT) 目录 再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其三)(循环卷积的Blueste ...
- NTT&FFT(快速?变换)
NTT&FFT 预先知识:无 我觉得我们可以从NTT/FFT讲起? 两个其实本质相同,都是求 多项式乘积 的算法 FFT \((x,y)\)指复数,我们可以不用管它 首先我们构造单位根\(\o ...
- 【Luogu5293】[HNOI2019] 白兔之舞
题目链接 题目描述 略 Sol 考场上暴力 \(O(L)\) 50分真良心. 简单的推一下式子,对于一个 t 来说,答案就是: \[\sum_{i=0}^{L} [k|(i-t)] {L\choose ...
- 【Luogu4191】[CTSC2010] 性能优化
题目链接 题意简述 求循环卷积意义下的 \(A(x)*B(x)^C\). 模数为 n+1 ,长度为 n. Sol 板子题. 循环卷积可直接把点值快速幂来解决. 所以问题就是要快速 \(DFT\),由于 ...
- XJOI NOI训练2 传送
NTT循环卷积 30分: 可以发现这是一个很明显的分层$DP$,设$dp[i][j]$表示当前走了j步走到i号节点的方案数.如果当前走的步数对节点有限制就直接将这个点的$DP$值赋成$0$ #incl ...
- 挑子学习笔记:两步聚类算法(TwoStep Cluster Algorithm)——改进的BIRCH算法
转载请标明出处:http://www.cnblogs.com/tiaozistudy/p/twostep_cluster_algorithm.html 两步聚类算法是在SPSS Modeler中使用的 ...
- PE Checksum Algorithm的较简实现
这篇BLOG是我很早以前写的,因为现在搬移到CNBLOGS了,经过整理后重新发出来. 工作之前的几年一直都在搞计算机安全/病毒相关的东西(纯学习,不作恶),其中PE文件格式是必须知识.有些PE文件,比 ...
- [异常解决] windows用SSH和linux同步文件&linux开启SSH&ssh client 报 algorithm negotiation failed的解决方法之一
1.安装.配置与启动 SSH分客户端openssh-client和openssh-server 如果你只是想登陆别的机器的SSH只需要安装openssh-client(ubuntu有默认安装,如果没有 ...
随机推荐
- Best Free Hacking E-Books 2017 In PDF Format
1.Best Free Hacking E-Books 2017 In PDF Format: 电子书籍下载地址 后续我会更新在我的百度云资源 上,需要的留言Black Belt Hacking &a ...
- HTML&javaSkcript&CSS&jQuery&ajax(九)
一.HTML 1.单选按钮 <form action="><inpput type="radio" name="sex" value ...
- bzoj3276磁力 两种要求下的最大值:分块or线段树+拓扑
进阶指南上的做法是分块的.. 但是线段树搞起来也挺快,将磁石按照距离排序,建立线段树,结点维护区间质量最小值的下标 进行拓扑,每次在可行的范围内在线段树中找到质量最小的下标取出,取出后再将线段树对应的 ...
- Java手动释放对象
伪代码 public void updateUser(BufferedWriter writer, BufferedReader reader) { List<User> array = ...
- APIView源码分析
什么是REST REST与技术无关,代表的是一种软件架构风格.REST全称是Representational State Tranfer, 表征性状态转移. REST从资源的角度类审视整个网络,它将分 ...
- Spring-data-redis: serializer实例
spring-data-redis提供了多种serializer策略,这对使用jedis的开发者而言,实在是非常便捷.sdr提供了4种内置的serializer: JdkSerializationRe ...
- 51 NOd 2006 飞行员配对(匈牙利算法二分匹配)
题目来源: 网络流24题 基准时间限制:1 秒 空间限制:131072 KB 分值: 0 难度:基础题 收藏 关注 第二次世界大战时期,英国皇家空军从沦陷国征募了大量外籍飞行员.由皇家空军派出的每一 ...
- Tensorflow:DCGAN生成手写数字
参考地址:https://blog.csdn.net/miracle_ma/article/details/78305991 使用DCGAN(deep convolutional GAN):深度卷积G ...
- Vue自定义class覆盖第三方组件原有样式
一个vue文件可以写多个<style></style>, 如果在style加上socped代表本组件的样式,不污染全局. 如果需要覆盖第三方组件样式,则不能加scoped,因此 ...
- Oozie如何和安装部署
1.Oozie的简单介绍: .Oozie是一个工作流引擎服务器,用于运行hadoop map/reduce和hive等任务工作流,同时Oozie还是一个Java web程序,运行在Java Servl ...