P1306 斐波那契公约数

题目描述

对于Fibonacci数列：1,1,2,3,5,8,13......大家应该很熟悉吧~~~但是现在有一个很“简单”问题：第n项和第m项的最大公约数是多少？

输入输出格式

输入格式：

两个正整数n和m。（n,m<=10^9）

注意：数据很大

输出格式：

Fn和Fm的最大公约数。

由于看了大数字就头晕，所以只要输出最后的8位数字就可以了。

输入输出样例

输入样例#1：

4 7

输出样例#1：

1

说明

用递归&递推会超时

用通项公式也会超时

Solution：

　　本题其实并不难，开始被题意吓到了，结果后面写出了式子都没看出来（手动滑稽～）。

　　方法：结论+矩阵加速

　　结论：$$gcd(F[n],F[m])=F[gcd(n,m)]$$

　　证明：

　　我们设$n<m$，$F[n]=a$和$F[n+1]=b$。

　　则$F[n+2]=a+b,F[n+3]=a+2b,…F[m]=F[m-n-1]a+F[m-n]b$

　　$\because \quad$ $F[n]=a,F[n+1]=b,F[m]=F[m-n-1]a+F[m-n]b$

　　$\therefore \quad$ $F[m]=F[m-n-1]*F[n]+F[m-n]*F[n+1]$

　　又$\because \quad$ $gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m-n-1]*F[n]+F[m-n]*F[n+1])$

　　而$F[n]|F[m-n-1]*F[n]$

　　$\therefore \quad gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m-n]*F[n+1])$

　　引理：$gcd(F[n],F[n+1])=1$

　　　证：由欧几里德定理知

　　　　　$gcd(F[n],F[n+1])=gcd(F[n],F[n+1]-F[n])$

$=gcd(F[n],F[n-1])$

　　　　　　　　　　　　$=gcd(F[n-2],F[n-1])$

　　　　　　　　　　　　$……$

　　　　　　　　　　　　$=gcd(F[1],F[2])=1$

　　　　  $\therefore \quad gcd(F[n],F[n+1])=1$

　　由引理知：

　　$F[n],F[n+1]$互质

　　而 $gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m-n]*F[n+1])$

　　$\therefore \quad$ $gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m-n])$

　　即$gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m\;mod\;n])$

　　继续递归，将$m1=m\;mod\;n$，则$gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n\;mod\;m1],F[m1])$

　　$…$

　　不难发现，整个递归过程其实就是在求解$gcd(n,m)$

　　最后递归到出现$F[0]$时，此时的$F[n]$就是所求gcd。　

　　$$\therefore \quad gcd(F[n],F[m])=F[gcd(n,m)]$$

　　于是本题就转为求$gcd(n,m)$，然后求斐波拉契数列的$F[gcd(n,m)]$项后8位（即对100000000取模）。

　　至于矩阵的构造：

　　初始矩阵 \begin{bmatrix} F[2]=1 & F[1]=1\end{bmatrix} 以及中间矩阵 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define ll long long
#define mem(p) memset(&p,0,sizeof(p))
using namespace std;
const ll mod=1e8;
ll n,m;
struct mat{ll a[][],r,c;};
il mat mul(mat x,mat y)
{
    mat p;
    mem(p);
    for(int i=;i<x.r;i++)
        for(int j=;j<y.c;j++)
            for(int k=;k<x.c;k++)
    p.a[i][j]=(p.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j])%mod;
    p.r=x.r,p.c=y.c;
    return p;
}
il void fast(ll k)
{
    mat p,ans;
    mem(p),mem(ans);
    p.r=p.c=;
    p.a[][]=p.a[][]=p.a[][]=;
    ans.r=,ans.c=;
    ans.a[][]=ans.a[][]=;
    while(k)
    {
        if(k&)ans=mul(ans,p);
        p=mul(p,p);
        k>>=;
    }
    cout<<ans.a[][];
}
il ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio();
    cin>>n>>m;
    n=gcd(n,m);
    if(n<=)cout<<;
    else fast(n-);
    return ;
}