[再寄小读者之数学篇](2014-07-27 $H^{-1}$ 中的有界集与弱收敛极限)

设 $H^{-1}$ 是 $H^1_0$ 的对偶空间, 定义域为 $[0,1]$. 试证:

(1) $\sed{h\sin (2\pi hx);\ h>0}$ 在 $H^{-1}$ 中有界;

(2) 试求 $h\sin (2\pi hx)$ 在 $H^{-1}$ 中的弱极限.

证明:

(1) 对 $\forall\ f\in H^1_0$, $\sen{f}_{H^1}\leq 1$, $$\beex \bea \sef{h\sin (2\pi hx),f(x)}&=\int_0^1 h\sin (2\pi hx)f(x)\rd x\\ &=-\frac{1}{2\pi} \int_0^1 f(x)\rd \cos(2\pi hx)\\ &=\frac{1}{2\pi} \int_0^1 f'(x)\cos (2\pi hx)\rd x. \eea \eeex$$ 故 $$\bex \sen{h\sin (2\pi hx)}_{H^{-1}}\leq \frac{1}{2\pi}. \eex$$

(2) 由 Riemann-Lebesgue 引理, $$\bex \sef{h\sin (2\pi hx),f(x)} =\frac{1}{2\pi} \int_0^1 f'(x)\cos (2\pi hx)\rd x\to 0\quad\sex{h\to\infty}. \eex$$ 故 $$\bex h\sin (2\pi hx)\rightharpoonup 0,\mbox{ in }H^{-1}. \eex$$