『素数 Prime判定和线性欧拉筛法 The sieve of Euler』
<更新提示>
<第一次更新>
<正文>
素数(Prime)及判定
定义
素数又称质数,一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能整除其他自然数的数叫做质数,否则称为合数。
1既不是素数也不是合数。
判定
如何判定一个数是否是素数呢?显然,我们可以枚举这个数的因数,如果存在除了它本身和1以外的因数,那么这个数就是素数。
在枚举时,有一个很简单的优化:一个合数\(n\)必有一个小于等于\(\sqrt{n}\)的因数。
证明如下:
假设一个合数\(n\)没有小于等于\(\sqrt{n}\)的因数。
由于\(n\)为合数,所以除了\(n\)与\(1\)以外,它至少还有两个因数\(p_1(p_1>\sqrt{n})\)和\(p_2(p_2>\sqrt{n})\),满足\(p_1p_2=n\)。
与\(p_1>\sqrt{n},p_2>\sqrt{n}\)矛盾,故假设不成立。
所以我们得到了\(O(\sqrt n)\)效率的素数判定算法。
\(Code:\)
inline bool check(k)
{
for(int i=2;i*i<=k;i++)
if(k%i==0)return 0;
return 1;
}
筛法(Sieve)求素数
现在有一个新的问题模型,如果我们需要求解\(1-n\)的所有素数,那么直接用判定法效率显然太低了。我们需要更高效率的算法,由此我们引入筛法。
埃氏筛法(The sieve of Eratosthenes)
这是筛法思想的基本模型。根据算数基本定理,我们得知:
\]
即任意一个数\(k\)都是由若干素数相乘得到的。
那么我们可以枚举\(2-n\)的每一个数,如果这个数没被标记,则说明这个数是素数,记录这个数,并标记这个数的所有倍数不是素数。
那么这样就可以求解\(1-n\)的所有素数了。时间复杂度为\(O(n\ ln(ln\ n))\)。
实现
这就是OI竞赛中最常用的素数求解算法了,实现也非常简单。
\(Code:\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int cnt=0,n,flag[100080]={},Prime[100080]={};
inline void sieve(void)
{
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!flag[i])Prime[++cnt]=i;else continue;
for(int j=i*2;j<=n;j+=i)flag[j]=true;
}
}
int main(void)
{
cin>>n;
sieve();
for(int i=1;i<=cnt;i++)cout<<Prime[i]<<" ";
cout<<endl;
}
欧拉筛法(The sieve of Euler)
欧拉筛法就是基于埃氏筛法的优化。
在模拟埃氏筛法的过程中,我们不难发现有很多合数会被它的各个素因子筛好几次,我们可以基于这种情况进行优化:每个合数必有一个最小素因子,用这个因子筛掉合数
所以,我们直接利用之前求出的素数进行筛数,如果发现当前这个数已经是之前某个素数的倍数时,那就说明这个数在以后会由某个更大的数乘以这个小素数筛去,同理,之后的筛数也是没有必要的,这时候就可以跳出循环了。
这样,我们就能保证每一个数只被筛一次,就实现了线性时间复杂度的筛法。
实现
欧拉筛法和埃氏筛法大体相似,但细节有所不同,注意不要搞混。
\(Code:\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int cnt=0,n,flag[100080]={},Prime[100080]={};
inline void seive(void)
{
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!flag[i])Prime[++cnt]=i;
//注意,这里没了continue,因为在筛某个数时需要用到它的最大因数,而这个数可能是个合数,所以不管是素数还是合数,都要执行以下的筛数过程
for(int j=1;j<=cnt&&i*Prime[j]<=n;j++)
{
flag[i*Prime[j]]=1;
if(i%Prime[j]==0)break;
}
}
}
int main(void)
{
cin>>n;
seive();
for(int i=1;i<=cnt;i++)cout<<Prime[i]<<" ";
cout<<endl;
}
<后记>
『素数 Prime判定和线性欧拉筛法 The sieve of Euler』的更多相关文章
- HDU 3823 Prime Friend(线性欧拉筛+打表)
Besides the ordinary Boy Friend and Girl Friend, here we define a more academic kind of friend: Prim ...
- [洛谷P3383][模板]线性筛素数-欧拉筛法
Description 如题,给定一个范围N,你需要处理M个某数字是否为质数的询问(每个数字均在范围1-N内) Input&Output Input 第一行包含两个正整数N.M,分别表示查询的 ...
- 欧拉筛法模板&&P3383 【模板】线性筛素数
我们先来看欧拉筛法 •为什么叫欧拉筛呢?这可能是跟欧拉有关 •但是为什么叫线性筛呢?因为它的复杂度是线性的,也就是O(n),我们直接来看代码 #include<cstdio> #inc ...
- 素数判断-----埃氏筛法&欧拉筛法
埃氏筛法 /* |埃式筛法| |快速筛选素数| |15-7-26| */ #include <iostream> #include <cstdio> using namespa ...
- BZOJ 2818 Gcd 线性欧拉
题意:链接 方法:线性欧拉 解析: 首先列一下表达式 gcd(x,y)=z(z是素数而且x,y<=n). 然后我们能够得到什么呢? gcd(x/z,y/z)=1; 最好还是令y>=x 则能 ...
- POJ2909_Goldbach's Conjecture(线性欧拉筛)
Goldbach's Conjecture: For any even number n greater than or equal to 4, there exists at least one p ...
- 2018牛客网暑期ACM多校训练营(第三场) H - Diff-prime Pairs - [欧拉筛法求素数]
题目链接:https://www.nowcoder.com/acm/contest/141/H 时间限制:C/C++ 1秒,其他语言2秒 空间限制:C/C++ 262144K,其他语言524288K ...
- 素数筛总结篇___Eratosthenes筛法和欧拉筛法(*【模板】使用 )
求素数 题目描述 求小于n的所有素数的数量. 输入 多组输入,输入整数n(n<1000000),以0结束. 输出 输出n以内所有素数的个数. 示例输入 10 0 示例输出 4 提示 以这道题目为 ...
- BNU 12846 LCM Extreme 最小公倍数之和(线性欧拉筛选+递推)
LCM Extreme Time Limit: 3000ms Memory Limit: 131072KB This problem will be judged on UVALive. Orig ...
随机推荐
- 20175305张天钰Java结对编程四则运算(二)
Java结对编程四则运算(二) 一.题目描述及要求 Git提交粒度不要太粗,建议一个文件/一个类/一个函数/一个功能/一个bug修复都进行提交,不能一天提交一次,更不能一周一次,参考Commit Me ...
- Android进阶:五、RxJava2源码解析 2
上一篇文章Android进阶:四.RxJava2 源码解析 1里我们讲到Rxjava2 从创建一个事件到事件被观察的过程原理,这篇文章我们讲Rxjava2中链式调用的原理.本文不讲用法,仍然需要读者熟 ...
- 南京邮电大学//bugkuCTF部分writeup
WEB 1.签到题 nctf{flag_admiaanaaaaaaaaaaa} 右键查看源代码或按f12即可. 2.这题不是web nctf{photo_can_also_hid3_msg} 下载图片 ...
- 通过excel获取一串连续的数字
输入一个格式的数字 点击按住右下角 拖动即可
- selenium3 调用IE Unable to get browser
本地环境开发,移至服务器上出现Unable to get browser的问题.经过查找找到问题所在(第六点,需要修改注册表增加键): 1.下载IEDriverServer.进入索引页,首先选择版本号 ...
- Makefile自学
MakeFile的规则 如果这个工程没有编译过,那么我们的所有C文件都要编译并被链接. 如果这个工程的某几个C文件被修改,那么我们只编译被修改的C文件,并链接目标程序. 如果这个工程的头文件被改变了, ...
- [POJ2259]Team Queue (队列,模拟)
2559是栈,2259是队列,真的是巧啊 题意 模拟队列 思路 水题 代码 因为太水,不想打,发博客只是为了与2559照应,于是附上lyd的std #include <queue> #in ...
- Windows环境下,本地Oracle创建dblink连接远程mysql
前言 我的情况是,本地安装了oracle(安装完成后带有SQL Developer,不需要再安装instantclient),创建dblink去连接远程的mysql.有些朋友可能是 本地使用PL\SQ ...
- Hibernate HQL ③
迫切左外连接: - LEFT JOIN FETCH 关键字表示迫切左外连接检索策略 - list()方法返回的集合中存放实体对象的引用,每个 Department 对象关联的 Employee 集合都 ...
- ubuntu 14.04 安装 rabbitmq
1. sudo apt-get update 安装rabbitmq 2. sudo apt-get install rabbitmq-server 添加用户 3. sudo rabbitmqctl a ...