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素数(Prime)及判定

定义

素数又称质数,一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能整除其他自然数的数叫做质数,否则称为合数。

1既不是素数也不是合数。

判定

如何判定一个数是否是素数呢?显然,我们可以枚举这个数的因数,如果存在除了它本身和1以外的因数,那么这个数就是素数。

在枚举时,有一个很简单的优化:一个合数\(n\)必有一个小于等于\(\sqrt{n}\)的因数

证明如下:

假设一个合数\(n\)没有小于等于\(\sqrt{n}\)的因数。

由于\(n\)为合数,所以除了\(n\)与\(1\)以外,它至少还有两个因数\(p_1(p_1>\sqrt{n})\)和\(p_2(p_2>\sqrt{n})\),满足\(p_1p_2=n\)。

与\(p_1>\sqrt{n},p_2>\sqrt{n}\)矛盾,故假设不成立。

所以我们得到了\(O(\sqrt n)\)效率的素数判定算法。

\(Code:\)

inline bool check(k)
{
for(int i=2;i*i<=k;i++)
if(k%i==0)return 0;
return 1;
}

筛法(Sieve)求素数

现在有一个新的问题模型,如果我们需要求解\(1-n\)的所有素数,那么直接用判定法效率显然太低了。我们需要更高效率的算法,由此我们引入筛法。

埃氏筛法(The sieve of Eratosthenes)

这是筛法思想的基本模型。根据算数基本定理,我们得知:

\[k=p_1^{a_1}·p_2^{a_2}·...·p_k^{a_k}
\]

即任意一个数\(k\)都是由若干素数相乘得到的。

那么我们可以枚举\(2-n\)的每一个数,如果这个数没被标记,则说明这个数是素数,记录这个数,并标记这个数的所有倍数不是素数。

那么这样就可以求解\(1-n\)的所有素数了。时间复杂度为\(O(n\ ln(ln\ n))\)。

实现

这就是OI竞赛中最常用的素数求解算法了,实现也非常简单。

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int cnt=0,n,flag[100080]={},Prime[100080]={};
inline void sieve(void)
{
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!flag[i])Prime[++cnt]=i;else continue;
for(int j=i*2;j<=n;j+=i)flag[j]=true;
}
}
int main(void)
{
cin>>n;
sieve();
for(int i=1;i<=cnt;i++)cout<<Prime[i]<<" ";
cout<<endl;
}

欧拉筛法(The sieve of Euler)

欧拉筛法就是基于埃氏筛法的优化。

在模拟埃氏筛法的过程中,我们不难发现有很多合数会被它的各个素因子筛好几次,我们可以基于这种情况进行优化:每个合数必有一个最小素因子,用这个因子筛掉合数

所以,我们直接利用之前求出的素数进行筛数,如果发现当前这个数已经是之前某个素数的倍数时,那就说明这个数在以后会由某个更大的数乘以这个小素数筛去,同理,之后的筛数也是没有必要的,这时候就可以跳出循环了。

这样,我们就能保证每一个数只被筛一次,就实现了线性时间复杂度的筛法。

实现

欧拉筛法和埃氏筛法大体相似,但细节有所不同,注意不要搞混。

\(Code:\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int cnt=0,n,flag[100080]={},Prime[100080]={};
inline void seive(void)
{
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!flag[i])Prime[++cnt]=i;
//注意,这里没了continue,因为在筛某个数时需要用到它的最大因数,而这个数可能是个合数,所以不管是素数还是合数,都要执行以下的筛数过程
for(int j=1;j<=cnt&&i*Prime[j]<=n;j++)
{
flag[i*Prime[j]]=1;
if(i%Prime[j]==0)break;
}
}
}
int main(void)
{
cin>>n;
seive();
for(int i=1;i<=cnt;i++)cout<<Prime[i]<<" ";
cout<<endl;
}

<后记>

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