P4233 射命丸文的笔记

思路

题目要求求的是哈密顿回路的期望数量，实际上就是哈密顿回路的总数/有哈密顿回路的竞赛图的数量

n个点的所有竞赛图中哈密顿回路的总数为

\[(n-1)! 2^{\frac{n(n-1)}{2}-n}
\]

每个哈密顿回路可以看成一个环，则经过的n个节点就是长度为n的一个排列，排列总数为\(n!\) 个，每个回路被计数了n次，有\((n-1)!\)种，剩下的\(\frac{n(n-1)}{2}-n\)条边随便连，有\(2^{\frac{(n-1)n}{2}-n}\)种

而强连通竞赛图中必有一个哈密顿回路

而i个点的竞赛图总数为

\[2^{\frac{n(n-1)}{2}}
\]

设i个点的竞赛图总数为\(g_i=2^{\frac{i(i-1)}{2}}\)，i个点强连通竞赛图总数为\(f_i\)

可以枚举拓扑序最小的强连通分量大小，然后用总数减去不强连通的竞赛图总数即可

为什么枚举拓扑序最小？因为枚举拓扑序最小同时确定了每条边的方向并保证了整个图不会强连通

\[f_{i}=g_i-\sum_{j=1}^{i-1} f_j \binom{i}{j} g_{i-j}
\]

所以

\[g_i=f_i+\sum_{j=1}^{i-1} f_j \binom{i}{j} g_{i-j}=\sum_{j=1}^{i} f_j \binom{i}{j} g_{i-j}
\]

拆开组合数

\[\begin{align}g_i=&\sum_{j=1}^{i} f_j \binom{i}{j} g_{i-j}\\=& i!\sum_{j=1}^i \frac{f_{j}}{j!}\frac{g_{i-j}}{(i-j)!}\end{align}
\]

所以

\[\frac{g_i}{i!}=\sum_{j=1}^i \frac{f_{j}}{j!}\frac{g_{i-j}}{(i-j)!}
\]

设\(F_i=\frac{f_i}{i!}\)，\(G_i=\frac{g_i}{i!}\)

就变成了这样

\[G_i=\sum_{j=1}^i G_{i-j}F_j
\]

然后上分治FFT或者多项式求逆就好了

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN = 300000;
const int MOD = 998244353;
const int G = 3;
const int invG = 332748118;
int rev[MAXN];
void cal_rev(int n,int lim){
    for(int i=0;i<n;i++)
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(lim-1));
}
int pow(int a,int b){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=(1LL*ans*a)%MOD;
        a=(1LL*a*a)%MOD;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
void NTT(int *a,int opt,int n,int lim){
    for(int i=0;i<n;i++)
        if(i<rev[i])
            swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int i=2;i<=n;i<<=1){
        int len=i/2,tmp=pow((opt)?G:invG,(MOD-1)/i);
        for(int j=0;j<n;j+=i){
            int arr=1;
            for(int k=j;k<j+len;k++){
                int t=(1LL*a[k+len]*arr)%MOD;
                a[k+len]=(a[k]-t+MOD)%MOD;
                a[k]=(a[k]+t)%MOD;
                arr=(1LL*arr*tmp)%MOD;
            }
        }
    }
    if(!opt){
        int invN = pow(n,MOD-2);
        for(int i=0;i<n;i++)
            a[i]=(1LL*a[i]*invN)%MOD;
    }
}
void Inv(int *a,int *b,int dep,int &midlen,int &midlim){
    if(dep==1){
        b[0]=pow(a[0],MOD-2);
        return;
    }
    Inv(a,b,(dep+1)>>1,midlen,midlim);
    static int tmp[MAXN];
    while((dep<<1)>midlen)
        midlen<<=1,midlim++;
    for(int i=0;i<dep;i++)
        tmp[i]=a[i];
    for(int i=dep;i<midlen;i++)
        tmp[i]=0;
    cal_rev(midlen,midlim);
    NTT(b,1,midlen,midlim);
    NTT(tmp,1,midlen,midlim);
    for(int i=0;i<midlen;i++)
        b[i]=1LL*b[i]*(2LL-1LL*b[i]*tmp[i]%MOD+MOD)%MOD;
    NTT(b,0,midlen,midlim);
    for(int i=dep;i<midlen;i++)
        b[i]=0;
}
int jc[MAXN],jc_inv[MAXN],n;
void init(int n){
    jc[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        jc[i]=(1LL*jc[i-1]*i)%MOD;
    jc_inv[n]=pow(jc[n],MOD-2);
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
        jc_inv[i]=(1LL*jc_inv[i+1]*(i+1))%MOD;
}
int f[MAXN],g[MAXN];
signed main(){
    scanf("%lld",&n);
    init(n);
    int inv2=pow(2,MOD-2);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        g[i]=(1LL*pow(2,(1LL*i*(i-1)/2)%(MOD-1))*jc_inv[i]%MOD);
    g[0]=1;
    int midlen=1,midlim=0;
    Inv(g,f,n+1,midlen,midlim);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(i==1)
            printf("1\n");
        else if(i==2)
            printf("-1\n");
        else
            printf("%lld\n",MOD-1LL*jc[i-1]*pow(2,i*(i-3)/2%(MOD-1))%MOD*pow(1LL*f[i]*jc[i]%MOD,MOD-2)%MOD);
    }
    return 0;
}