实现Avl平衡树

一、介绍

　　AVL树是一种自平衡的二叉搜索树，它由Adelson-Velskii和 Landis于1962年发表在论文《An algorithm for the organization of information》中。AVL树的特点是，其左右子树的高度差的绝对值小于2（空树的高度定义为 -1，无子树的树高度为0）。如下图所示，左边的二叉树为AVL树，而右边的二叉树root节点的左子树高度为2，右子树高度为0，高度差为2，不是AVL树。与普通二叉树相同的是查找和遍历；但是插入和删除操作可能会破坏AVL的平衡结构，这也是实现AVL树的难点所在。

二、定义

　　AVL的特点是平衡，每个节点平衡依赖于其左右子树的高度，因此，每个树节点都有一个height值。这里的定义和实现来自于《数据结构和算法分析-C语言描述》一书，具体定义如下：

/*
    filename: Avltree.h
    from: chapter 4 tree, page 87, Data Structure and Algorithm Analysis
    date: 2013-08-06
    function: declearation of AVL Tree
*/
#ifndef _AVLTREE_H_
#define _AVLTREE_H_
 
// 定义树节点
struct AvlNode{
    double element;  //内容元素
    AvlTree left;  //左孩子
    AvlTree right;  //右孩子
    int height;   //高度，无子节点时为 0，NULL时为 -1
};
typedef struct AvlNode * Position;
typedef struct AvlNode * AvlTree;
 
void InitAvl(AvlTree *T);
AvlTree MakeEmpty(AvlTree T);
Position Find(double X, AvlTree T);
Position FindMin(AvlTree T);
Position FindMax(AvlTree T);
AvlTree Insert(double X, AvlTree T);
AvlTree Delete(double X, AvlTree T);
double Retrieve(Position P);
 
#endif

　　对节点高度的控制是通过Height(Position P)实现的，很重要的一点是它规定了空树的高度（此时调用P->height会报错）。Height(Position P)实现如下：

static int Height(Position P){
    if(P==NULL) return -1;
    else return P->height;
}

三、初始化和置空树

　　创建一个新树时，使用InitAvl()函数将其初始化为空。删除所有节点使用MakeEmpty()函数，代码如下：

/*
       filename: Avltree.c
*/
void InitAvl(AvlTree *T){
    *T = NULL;
}
AvlTree MakeEmpty(AvlTree T){
    if(T!=NULL){
        MakeEmpty(T->left);
        MakeEmpty(T->right);
        free(T);
    }
    return NULL;
}

四、实现查找

　　AVL树的查找与普通二叉树没有区别，可以通过递归或者非递归的方式实现，都比较简单。这里使用的是递归，需要注意，Find()、FindMin()和FindMax()方法前的return 比不可少，否则递归得出的结果无法向上传递。

Position Find(double X, AvlTree T){
    if(T!=NULL){
        if(X==T->element) return T;
        else if(X>T->element) return Find(X, T->right);
        else return Find(X, T->left);
    }else return T;
}
Position FindMin(AvlTree T){
    if(T!=NULL && T->left!=NULL) return FindMin(T->left);
    else return T;
}
Position FindMax(AvlTree T){
    if(T==NULL ||T->right==NULL) return T;
    else return FindMin(T->right);
}

五、实现插入

　　在插入之前，AVL树中每个节点都是平衡的，插入元素以后，可能会导致 插入节点到根节点路径上的节点的平衡发生改变，而插入节点的子节点的平衡不变。沿着这条路径上行，对路径上的每个节点，检查其平衡状态，修正不平衡的节点，修正height，一直检查和修正到root节点。最后可以得到的是一棵平衡的AVL树。

　　假设我们遍历到的节点是a，如果a满足平衡条件，则上行一个节点。如果不满足，则有四种情况：

插入到a的左儿子的左子树后，平衡被打破，（结果：左高右低，left-left型）（例子见上图）
插入到a的左儿子的右子树后，平衡被打破，（结果：左高右低，left-right型）
插入到a的右儿子的左子树后，平衡被打破，（结果：右高左低，right-left型）
插入到a的右儿子的右子树后，平衡被打破，（结果：右高左低，right-right型）

情形1和情形4对称，情形2和情形3对称。这里先看情形1。需要通过旋转来调整这几种不平衡状态

1、Left-left case

　　这里，K2是当前要处理的节点。可以看到K2->left 比 K2->right 要高两层，而X比Y要高一层。而插入之前，k2满足平衡条件。插入新元素导致 X 长出一层，使其比Z高两层。重新调整平衡的方法是使X上移一层，Z下移一层，同时将K1设置为当前节点。

实现如下：

/*
        filename: AvlTree.c
*/
static Position SingleRotationWithLeft(Position K2){ //左孩子的Height太大
    Position K1 = K2->left;
    K2->left = K1->right;
    K1->right = K2;
    K2->height = Max(Height(K2->left), Height(K2->right)) + 1;
    K1->height = Max(Height(K1->left), Height(K2))+1;
    return K1;
}

2、right-right case

　　这种情况和与前一种没有本质差别，这里仅仅附上图示和代码

// filename: Avltree.c
static Position SingleRotationWithRight(Position K2){  //右孩子的Height太大，且大的分支在其右孩子
    Position K1 = K2->right;
    K2->right = K1->left;
    K1->left = K2;
    K2->height = Max(Height(K2->left), Height(K2->right)) + 1;
    K1->height = Max(Height(K1->right), K2->height)+1;
    return K1;
}

3、left-right case

这种情况下，使用单次旋转后，可以看出当前节点(K1)仍然是不平衡的，因此我们需要进行两次旋转。旋转方法见图

等价于

　　这里使用了两次单旋转，先旋转K1和K2，再把K2置为当前节点。（通过图可以直观地看出K1->element < K2->element < K3->element)

// filename: Avltree.c
static Position DoubleRotationWithLeft(Position K2){  // 左孩子太大，且大的分支在左孩子的右孩子上
    K2->left = SingleRotationWithRight(K2->left);
    K2 = SingleRotationWithLeft(K2);
 
    return K2;
}

4、right-left case

　　这种情形与情形3类似，不多解释，代码如下

// filename: Avltree.c
static Position DoubleRotationWithRight(Position K2){  //右孩子太大，且大的分支是右孩子的左孩子
    K2->right = SingleRotationWithLeft(K2->right);
    K2 = SingleRotationWithRight(K2);
    return K2;
}

　　这四种旋转实现了平衡AVL树的功能，下面就插入元素分情况进行讨论。

　　如果T为空树，则插入比较简单，直接分配内存，并存储即可。如果T不为空树，则需要分情况讨论。这里再强调一次，

　　“在插入之前，AVL树中每个节点都是平衡的，插入元素以后，可能会导致 插入节点到根节点路径上的节点的平衡发生改变，而插入节点的子节点的平衡不变。沿着这条路径上行，对路径上的每个节点，检查其平衡状态，修正不平衡的节点，修正height，一直检查和修正到root节点。最后可以得到的是一棵平衡的AVL树。”

　　每个节点的平衡状态是由其左右子节点的高度差决定的，使用递归可以保证更新完子节点以后，上溯到父节点进行检查更新。

// filename: Avltree.c
AvlTree Insert(double X, AvlTree T){
    if(T==NULL){  // T 为空树
        T = (AvlTree)malloc(sizeof(struct AvlNode));
        if(T==NULL){
            fprintf(stderr, "no space available!\n");
            abort();
        }else{
            T->element = X;
            T->left = T->right = NULL;
            T->height = 0;
        }
    }else if(X<T->element){
        T->left = Insert(X, T->left);
        if(Height(T->left) - Height(T->right)==2){
            if(X<T->left->element)   // X被插入到其左孩子的左子树中，left-left case
                T = SingleRotationWithLeft(T);
            else   // X被插入到其左孩子的右子树中，left-right case
                T = DoubleRotationWithLeft(T);
        }
    }else if(X>T->element){
        T->right = Insert(X, T->right);
        if(Height(T->right)-Height(T->left)==2){
            if(X<T->right->element)   // X被插入到右孩子的左子树中， right-left case
                T = DoubleRotationWithRight(T);
            else   // X 被插入到其右孩子的右子树中， right-right case
                T = SingleRotationWithRight(T);
        }
    }
        // else if x== T->left->element, no need to know
 
    T->height = Max(Height(T->left),Height(T->right)) + 1;  // 更新节点的高度  Max()为辅助函数
    return T;
}

六、实现删除

　　节点的删除比Insert麻烦一些，我们分情形处理。

T为空树
要删除的元素不存在
要删除的元素位于叶子节点上
要删除的元素位于非叶子节点上

　　情形1 和情形2不需要太多处理，直接返回T；情形3则需要递归删除，并逐级上溯纠正树的平衡性；情形4比较复杂，这里将详细讨论。

　　假设要删除的节点为 a，如果a->left 或者 a->right为空树，则将 a = a->right(假设a->left==NULL)，释放原来a节点的空间，即可。然后逐个上溯到父节点，并调整其平衡性。如果 a的左右子树均不为空，则用其右子树的最小值取代 a中的值（a->element = FindMin(a->right)），递归删除右子树的最小值，然后调整a的平衡。最后逐个上溯到父节点，并调整其父节点的平衡性。

        if(!T->left){  // 第一种情况： 左子树为NULL, 删除后需要重新计算高度（减一），但不需要调节平衡
            pos = T;
            T = T->right;
            free(pos);
        }else if(!T->right){  //第二种情况：右子树为NULL，删除后需要重新计算高度（减一），但不需要调节平衡
            pos = T;
            T = T->left;
            free(pos);
        }else{   // 第三种情况，左右子树均不为空
            // 用右子树的最小值代替X，删除右子树最小值，并调节其平衡
            pos = FindMin(T->right);
            T->element = pos->element;
            Delete(pos->element, T->right); // 递归删除最小值，计算高度，并调节平衡至 T->right
            // 但无法保证 T 的平衡，因此需要调节
            if(Height(T->left) - Height(T->right)==2){
                if(Height(T->left->right)-Height(T->left->left)==1)  // left-right型
                    T = DoubleRotationWithLeft(T);
                else T = SingleRotationWithLeft(T); // left-left型
            }
        }

　　Delete的全部实现如下：

AvlTree Delete(double X, AvlTree T){
    Position pos;
    if(!T) return NULL;  // when T ==NULL
 
    // 递归删除
    if(X<T->element){
        T->left = Delete(X, T->left);// 删除后，左子树元素个数减少，可能为 NULL
        if(Height(T->right)-Height(T->left)==2){ // 平衡被打破，右子树高度过高
            if(T->left==NULL){
                // need to identify them
                if(T->right->right==NULL) T = DoubleRotationWithRight(T);
                else T = SingleRotationWithRight(T);
            }else if(X<T->left->element)  // X小于左子树的元素，为 left-right型
                T = DoubleRotationWithLeft(T);
            else  // X 大于左子树的元素，左子树的右子树的元素被删除，为left-left型
                T = SingleRotationWithLeft(T);
        }
    }else if(X>T->element){
        T->right = Delete(X, T->right);  //删除后，右子树的元素个数减少, 可能为 NULL
        if(Height(T->left)-Height(T->right)==2){  //平衡被打破，左子树高度过高
            if(T->right==NULL){
                //left-left or left-right
                if(T->left->left==NULL) T = DoubleRotationWithLeft(T);
                else T = SingleRotationWithLeft(T);
            }else if(X<T->right->element) //X小于右子树元素，，为right-right型
                T = SingleRotationWithRight(T);
            else  //X 大于右子树元素，为right-left型
                T = DoubleRotationWithRight(T);
        }
    }else{  // X == T->element
 
        if(!T->left){  // 第一种情况： 左子树为NULL, 删除后需要重新计算高度（减一），但不需要调节平衡
            pos = T;
            T = T->right;
            free(pos);
        }else if(!T->right){  //第二种情况：右子树为NULL，删除后需要重新计算高度（减一），但不需要调节平衡
            pos = T;
            T = T->left;
            free(pos);
        }else{   // 第三种情况，左右子树均不为空
            // 用右子树的最小值代替X，删除右子树最小值，并调节其平衡
            pos = FindMin(T->right);
            T->element = pos->element;
            Delete(pos->element, T->right); // 递归删除最小值，计算高度，并调节平衡至 T->right
            // 但无法保证 T 的平衡，因此需要调节
            if(Height(T->left) - Height(T->right)==2){
                if(Height(T->left->right)-Height(T->left->left)==1)  // left-right型
                    T = DoubleRotationWithLeft(T);
                else T = SingleRotationWithLeft(T); // left-left型
            }
        }
    }
    //  things does not work when T ==NULL
    if(T) T->height = Max(Height(T->left),Height(T->right)) + 1;
    return T;
}

参考引用：《数据结构与算法分析--C语言描述》