HDU 2068 RPG的错排(错排公式 + 具体解释)

RPG的错排

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Problem Description

今年暑假杭电ACM集训队第一次组成女生队,当中有一队叫RPG,但做为集训队成员之中的一个的野骆驼居然不知道RPG三个人详细是谁谁。RPG给他机会让他猜猜，第一次猜：R是公主。P是草儿。G是月野兔。第二次猜：R是草儿。P是月野兔，G是公主；第三次猜：R是草儿，P是公主。G是月野兔；......可怜的野骆驼第六次最终把RPG分清楚了。因为RPG的带动，做ACM的女生越来越多，我们的野骆驼想都知道她们。可如今有N多人，他要猜的次数可就多了，为了不为难野骆驼，女生们仅仅要求他答对一半或以上就算过关，请问有多少组答案能使他顺利过关。

 

Input

输入的数据里有多个case,每一个case包含一个n，代表有几个女生。（n<=25）, n = 0输入结束。

 

Sample Input

1
2
0

 

Sample Output

1
1
此处运用了错排公式，错排公式具体解释例如以下：
错排公式具体解释：
当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不正确应的方法数用M(n)表示,那么M(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不正确应的方法数,其他类推.
第一步,把第n个元素放在一个位置,比方位置k,一共同拥有n-1种方法;
第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况.1,把它放到位置n,那么,对于剩下的n-2个元素,就有M(n-2)种方法;2,不把它放到位置n,这时,对于这n-2个元素,有M(n-1)种方法;
综上得到
D(n) = (n - 1) * [D(n - 2) + D(n - 1)]
D(1) = 0,D(2) = 1
如今解说大家疑惑的地方，或许大家对于那个D(n - 2)不疑惑。可是对于D(n - 1)的来由有点坑爹
如今进行解说，当将n这个位置的元素放在了k这个位置，那么此时将k这个位置放在n的位置，当作是k本来不是在k的位置。而是在n的位置
或许大家有点听不懂。以下有图形说明：
watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQv/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/Center" alt="">
 
这幅图表示最開始正确的序列

这幅图表示第八个与第四个进行交换了
 
接着就是重中之重
 
所谓的d[i - 1] * (i - 1)的由来就是上面这幅图，将4这个数原本的位置不再看成是第一幅的位置。而是上面这幅图的位置，那么这个图的错排就是d[i - 1] * (i - 1)
 
第二种easy理解的思路
因为
D[i - 1]中多加了一个元素f[i]那么这个元素能够放在D[i - 1]中错排序列中随意个，所以有(i - 1) * D[i - 1]中，
然后是假设i - 1个数中有一个没有进行错排，那么这个数与f[i]进行交换。接着剩下的全部元素进行错排有(i - 1) * D[i - 2]个
如此答案为D(n) = (n - 1) * [D(n - 2) + D(n - 1)]
 
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL ans[20];
int n;
LL getsd(LL n,LL x) {
    LL ret = 1;
    for(int i = 0; i < x; i ++) {
        ret = ret * (n - i) /(i + 1);
    }
    return ret;
}
int main() {
    ans[0] = 1;
    ans[1] = 0;
    ans[2] = 1;
    for(int i = 3; i <= 15 ; i ++) {
        ans[i] = (ans[i - 1] + ans[i - 2]) * (i - 1);
    }
    while(~ scanf("%d", &n), n) {
        LL ret = ans[0];
        int m = n >> 1;
        for(int i = 1; i <= m; i ++) {
            ret += ans[i] * getsd(n,i);
        }
        printf("%I64d\n",ret);
    }
    return 0;
}