X问题

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
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Problem Description
求在小于等于N的正整数中有多少个X满足:X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。
 
Input
输入数据的第一行为一个正整数T,表示有T组测试数据。每组测试数据的第一行为两个正整数N,M (0 < N <= 1000,000,000 , 0 < M <= 10),表示X小于等于N,数组a和b中各有M个元素。接下来两行,每行各有M个正整数,分别为a和b中的元素。
 
Output
对应每一组输入,在独立一行中输出一个正整数,表示满足条件的X的个数。
 
Sample Input
3
10 3
1 2 3
0 1 2
100 7
3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6 7
10000 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 
Sample Output
1
0
3
 
Author
lwg
 
Source
 
Recommend
linle
 
 crt是处理除数互质的情况
excrt是处理除数可以不互质的情况
EXCRT就是循环使用exgcd
由前两个方程求出一个解 然后再用这个解和下一个方程求解 一直到头
贴一个聚聚的代码
因为他有讲解。。。https://blog.csdn.net/a601025382s/article/details/10296577
还有一个详解edgcd的 https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8425731.html
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
void gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{//a*x+b*y=gcd(a,b)=d;(x,y)为其一组整数解
if(!b){d=a;x=;y=;}
else{ gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}
int main()
{
int n,m,m1,r1,m2,r2,flag=,a[],b[],T;
cin>>T;
while(T--)
{
cin>>n>>m;
int i,j,k,d,x,y,c,t;
for(i=;i<m;i++)
cin>>a[i];
for(i=;i<m;i++)
cin>>b[i];
flag=;
m1=a[];r1=b[];
for(i=;i<m;i++)
{
m2=a[i];r2=b[i];
if(flag)continue;
gcd(m1,m2,d,x,y);//d=gcd(m1,m2);x*m1+y*m2=d;
c=r2-r1;
if(c%d)//对于方程m1*x+m2*y=c,如果c不是d的倍数就无整数解
{
flag=;
continue;
}
t=m2/d;//对于方程m1x+m2y=c=r2-r1,若(x0,y0)是一组整数解,那么(x0+k*m2/d,y0-k*m1/d)也是一组整数解(k为任意整数)
//其中x0=x*c/d,y0=x*c/d;
x=(c/d*x%t+t)%t;//保证x0是正数,因为x+k*t是解,(x%t+t)%t也必定是正数解(必定存在某个k使得(x%t+t)%t=x+k*t)
r1=m1*x+r1;//新求的r1就是前i组的解,Mi=m1*x+M(i-1)=r2-m2*y(m1为前i个m的最小公倍数);对m2取余时,余数为r2;
//对以前的m取余时,Mi%m=m1*x%m+M(i-1)%m=M(i-1)%m=r
m1=m1*m2/d;
}
if(flag||n<r1)cout<<<<endl;
else
{
int ans=(n-r1)/m1+;//m1为ai的最小公倍数,凡是m1*i+r1的都是符合要求的数,其中r1最小
if(r1==)ans--;//要求是正整数
cout<<ans<<endl;
}
}
return ;
}
/*
中国剩余定理的普通情况:ai不一定相互互质
*/

excrt处理除数不互质情况

循环使用exgcd

先由前两个方程求出解  由此构建一个方程

方程的b 为求出的解

a为前两个方程a的最小公倍数

构建的方程再与下一个方程求解 依此循环

bi '= ai - 1 * x + bi - 1

a'= (ai - 1 * bi - 1) / d;

最后求出ai' 和 bi'

任何ai' * j + bi'  (j <= 0)都是符合要求的解

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