中国剩余定理CRT

正整数m1,m2,...,mk两两互素,对b1,b2,...,bk的同余式组为

\[\begin{cases}
x \equiv b_1\; mod \;m_1\\
x \equiv b_2\; mod \;m_2\\
\quad\quad\vdots\\
x \equiv b_k\; mod \;m_k\\
\end{cases}
\]

在mod M

\[M = \prod_{i = 1}^{k}m_i
\]

的情况下有唯一解

\[x = (\sum_{i=1}^k b_iM_iM'_i)\;mod\;M
\]

其中

\[M_i = \frac{M}{m_i}
\]
\[M'_i = M_i^{-1}\;mod\;m_i
\]

python代码实现:

import gmpy2

def crt(b,m):
#判断是否互素
for i in range(len(m)):
for j in range(i+1,len(m)):
if gmpy2.gcd(m[i],m[j]) != 1:
print("m中含有不是互余的数")
return -1
#乘积
M = 1
for i in range(len(m)):
M *= m[i]
#求M/mi
Mm = []
for i in range(len(m)):
Mm.append(M // m[i])
#求Mm[i]的乘法逆元
Mm_ = []
for i in range(len(m)):
_,a,_ = gmpy2.gcdext(Mm[i],m[i])
Mm_.append(int(a % m[i]))
#求MiM'ibi的累加
y = 0
for i in range(len(m)):
print(Mm[i] * Mm_[i] * b[i])
y += (Mm[i] * Mm_[i] * b[i])
y = y % M
return y

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