Solution -「ARC 126E」Infinite Operations

\(\mathcal{Description}\)

  Link.

  给定序列 \(\{a_n\}\)，定义一次操作为：

• 选择 \(a_i<a_j\)，以及一个 \(x\in\mathbb R_+\)，使得 \(a_i+x\le a_j-x\)；
• 令 \(a_i\leftarrow a_i+x,a_j\leftarrow a_j-x\)，本次操作的得分为 \(x\)。

  定义序列的得分为进行任意次操作能得到的最大得分和，现给定 \(m\) 次形如 \(a_x\leftarrow y\) 的修改操作，在每次修改操作后求出当前序列的得分。

\(\mathcal{Solution}\)

  定义序列的势能 \(\Phi=\sum_{i<j}|a_i-a_j|\)，设进行一次操作后得到新势能 \(\Phi'\)，显然有 \(\Phi'-\Phi\le-2x\)，其中 \(x\) 即操作时所选取的正数。同时，取等条件容易看出为 \(\not\exist a_k,a_k\in(a_i,a_j)\)，由此，又能得到只要 \(\Phi>0\)，我们必然能以势能减少 \(2x\) 的代价增加 \(x\) 分。所以答案就是 \(\frac{\Phi}{2}\)。

  选用平衡树来动态维护 \(\Phi\) 即可支持修改。复杂度 \(\mathcal O((n+m)\log n)\)。

\(\mathcal{Code}\)

/*~Rainybunny~*/

#include <bits/stdc++.h>

#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rep##i = r; i <= rep##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, per##i = l; i >= per##i; --i )

typedef long long LL;

const int MAXN = 6e5, MOD = 998244353, INV2 = 499122177;
int n, m, root, a[MAXN + 5];

inline int mul( const int u, const int v ) { return 1ll * u * v % MOD; }
inline int sub( int u, const int v ) { return ( u -= v ) < 0 ? u + MOD : u; }
inline int add( int u, const int v ) { return ( u += v ) < MOD ? u : u - MOD; }

struct Treap {
	int node, root, ch[MAXN + 5][2], aux[MAXN + 5], val[MAXN + 5];
	int siz[MAXN + 5], sum[MAXN + 5];
	Treap() { srand( 20120712 ); }

	inline int newnd( const int v ) {
		++node, aux[node] = rand(), sum[node] = val[node] = v, siz[node] = 1;
		return node;
	}

	inline void pushup( const int u ) {
		siz[u] = siz[ch[u][0]] + siz[ch[u][1]] + 1;
		sum[u] = add( add( sum[ch[u][0]], sum[ch[u][1]] ), val[u] );
	}

	inline int merge( const int u, const int v ) {
		if ( !u || !v ) return u | v;
		if ( aux[u] < aux[v] ) {
			return ch[u][1] = merge( ch[u][1], v ), pushup( u ), u;
		} else {
			return ch[v][0] = merge( u, ch[v][0] ), pushup( v ), v;
		}
	}

	inline void vsplit( const int u, const int k, int& x, int& y ) {
		if ( !u ) return void( x = y = u );
		if ( val[u] <= k ) vsplit( ch[u][1], k, ch[x = u][1], y ), pushup( x );
		else vsplit( ch[u][0], k, x, ch[y = u][0] ), pushup( y );
	}

	inline int erase( const int v ) {
		int x, y, z; vsplit( root, v, x, z );
		int ret = add( sub( mul( sub( siz[x], siz[z] ), v ), sum[x] ), sum[z]);
		vsplit( x, v - 1, x, y ), y = merge( ch[y][0], ch[y][1] );
		return root = merge( x, merge( y, z ) ), ret;
	}

	inline int insert( const int v ) {
		int x, y = newnd( v ), z; vsplit( root, v, x, z );
		int ret = add( sub( mul( sub( siz[x], siz[z] ), v ), sum[x] ), sum[z]);
		return root = merge( x, merge( y, z ) ), ret;
	}
} trp;

int main() {
	scanf( "%d %d", &n, &m );
	int ans = 0;
	rep ( i, 1, n ) scanf( "%d", &a[i] ), ans = add( ans, trp.insert( a[i] ) );
	for ( int x, v; m--; ) {
		scanf( "%d %d", &x, &v );
		ans = sub( ans, trp.erase( a[x] ) );
		ans = add( ans, trp.insert( a[x] = v ) );
		printf( "%d\n", mul( ans, INV2 ) );
	}
	return 0;
}