Weisfeiler-Lehman(WL) 算法和WL Test

Weisfeiler-Lehman 算法

　　很多论文中会讲，从另一个角度来讲，GCN模型可以看作图上非常有名的 Weisfeiler-Lehman 算法的一种变形。那么什么是 Weisfeiler-Lehman 算法呢？

　　一维的 Weisfeiler-Lehman 如下所示：

　　

　　

　　下面举例说明 Wisfeiler-Lehman 算法

　　给定两图 $G$ 和 $G^{\prime}$，其中每个节点都已经打上了标签（实际应用中，有些时候我们并拿不到节点的标签， 这时可以对节点都标上 "1" 这个标签)

　　

　　要比较 $\mathrm{G}$ 和 $\mathrm{G}^{\prime}$ 的相似性，我们来看看 weisfeiler-lehman 算法是怎么做的：

　　1、aggregate 邻居节点的标签得到一个标签的字符串，对字符串进行升序排列。

　　

　　2、对字符串进行哈希处理，这里生成了一个一一映射的字典，这一步也可以使用其它的字符串哈希函数，只要保证碰撞率尽量小就可以。

　　

　　3. 将哈希过的值重新赋值给相应的节点

　　

　　这样第一轮迭代之后，  $G=\{6 、 6 、 8 、 10 、 11 、 13\} $， $G^{\prime}=\{6 ， 7 ， 9 ， 10 ， 12 ， 13\}$  于是利用 Jaccard 公 式就可以计算出 $G$ 和 $G$ 的相似度了，如果需要更严格的对比，可以持续迭代上述过程。

Jaccard系数

　　Jaccard index , 又称为 Jaccard 相似系数（Jaccard similarity coefficient）用于比较有限样本集之间的相似性与差异性。Jaccard 系数值越大，样本相似度越高。

　　定义：给定两个集合A,B，Jaccard 系数定义为A与B交集的大小与A与B并集的大小的比值，定义如下：

　　　　$J(A, B)=\frac{|A \cap B|}{|A \cup B|}=\frac{|A \cap B|}{|A|+|B|-|A \cap B|}$

　　当集合 A，B 都为空时，J(A,B) 定义为 1。

　　与Jaccard 系数相关的指标叫做Jaccard 距离，用于描述集合之间的不相似度。Jaccard 距离越大，样本相似度越低。公式定义如下：

　　　　$d_{j}(A, B)=1-J(A, B)=\frac{|A \cup B|-|A \cap B|}{|A \cup B|}=\frac{A \Delta B}{|A \cup B|}$

　　其中对称差（symmetric difference）$A \Delta B=|A \cup B|-|A \cap B|$ 。

　　性质：$J(A, B) \in[0,1]$