Cayley-Hamilton 定理简要证明

证明思路来源于 DZYO 发的博客

Cayley-Hamilton 定理：

设 \(\textbf A\) 是 n阶矩阵，\(f(\lambda)=\det(\lambda\textbf I-\textbf A)\)，为其特征多项式，则 \(f(\textbf A)=\textbf0\)。

证明：

考虑令 \(\textbf{B}=\lambda\textbf I-\textbf A,\textbf C=\textbf{B}^*\) ，那么有 \(\textbf{BC}=\textbf{CB}=\det(\lambda\textbf I-\textbf A)\textbf I=f(\lambda)\textbf I\)

考虑到 \(\textbf C_{i,j}\) 是关于实数 \(\lambda\) 的 \(n-1\) 次多项式，\(\textbf B_{i,j}\) 是关于实数 \(\lambda\) 的 \(1\) 次多项式，那么可以把 \(\textbf B,\textbf C\) 都拆分成矩阵多项式然后再乘起来，结果是一个 \(n\) 次的矩阵多项式 \(F(\lambda)=f(\lambda)\textbf I\)，注意到这个地方多项式乘法的时候需要计算 \(a_i\lambda^i\times b_j\lambda^j\)，因此该矩阵多项式是一个矩阵的多项式必须要带入的矩阵 \(\textbf X\) 必须满足 \(\textbf X\) 与 \(a_i,b_i\) 都可以交换才行。

根据上面得到的等式可以推出 \(F_i=f_i\textbf I\) ，由于 \(\textbf A\) 是可以和 \(a_i,b_i\) 交换的，因此可以将 \(\lambda\) 替换成 \(\textbf A\)

于是 \(F(\textbf A)=\textbf0=f(\textbf A)\textbf I\)

\(\Rightarrow f(\textbf A)=0\)

得证