【暑假集训】HZOI2019 Luogu P1006 传纸条二三四维解法

写三次丢失两次，我谔谔，以后再不在博客园先保存我就去死

题目内容

洛谷链接

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学被安排坐成一个$m$行、$n$列的矩阵，而小渊和小轩被安排坐在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标$(1,1)$，小轩坐在矩阵的右下角，坐标$(m,n)$。从小渊传给小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里的每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好心程度有高有低(注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用$0$表示)，可以用一个$0-100$的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样两条路径。

输入格式

第一行有两个用空格隔开的整数$m$和$n$，表示班里有$m$行$n$列$(1\le m,n\le 50)$。

接下来的$m$行是一个$m×n$的矩阵，矩阵中第$i$行$j$列的整数表示坐在第$i$行$j$列的学生的好心程度。每行的$n$个整数之间用空格隔开。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传纸条的同学的好心程度之和的最大值。

样例输入

3 3

0 3 9

2 8 5

5 7 0

样例输出

34

思路

更加简单的一道：P1004 方格取数

双倍经验啊

四维

时间复杂度$O(n^2×m^2)$，其实已经能水过了因为范围挺小的orz。

用$f[i][j][k][q]$表示第一张纸条传到$(i,j)$,第二张纸条传到$(k,q)$所累计下来的好心程度总和。

对于每一步有四种情况：

第一张纸条向下传，第二张纸条向下传；
第一张纸条向下传，第二张纸条向右传；
第一张纸条向右传，第二张纸条向下传；
第一张纸条向右传，第二张纸条向右传；

$f[i][j][k][q]=max\{f[i][j-1][k-1][q],f[i-1][j][k][q-1],f[i][j-1][k][q-1],f[i-1][j][k-1][q]\}+a[i][j]+a[k][q]$

注意要求两条路线严格不重合，所以为了防止重复q的范围应该是$j+1$到$m$。或者手动判断重复的时候减去一个。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=55;
int n,m;
int f[maxn][maxn],a[maxn][maxn];
int mymax(int a,int b,int c,int d){
    return max(max(max(a,b),c),d);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        	scanf("%d",&a[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            for(int k=1;k<=n;k++)
                for(int q=j+1;q<=m;l++)
                    f[i][j][k][q]=mymax(f[i][j-1][k-1][q],f[i-1][j][k][q-1],f[i][j-1][k][q-1],f[i-1][j][k-1][q])+a[i][j]+a[k][q];
    printf("%d",f[n][m-1][n-1][m]);
    return 0;
}

式子太长辣有可能鬼畜辣QAQ

三维

进阶版

时间复杂度$O(n^2×(n+m))$

可以发现每次转移两个纸条走过的路程总是相等的。即$i+j=k+q$。

设$i+j=k+q=step$,我们枚举$step$，同时枚举第一个人和第二个人的横坐标或者纵坐标，另一个就可以算出来了，例如枚举横坐标。

$f[k][i][j]=max\{f[k-1][i][j],f[k-1][i-1][j-1],f[k-1][i][j-1],f[k-1][i-1][j]\}+a[i][k-i+1]+a[j][k-j+1]$

不过要注意的是枚举步数的一维要开两倍大小，否则RE的美滋滋，同时要手动判重。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=55;
int n,m;
int f[2*maxn][maxn][maxn],a[maxn][maxn];
int mymax(int a,int b,int c,int d){
    return max(max(max(a,b),c),d);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    for (int k=1;k<=n+m-1;k++)
        for (int i=1;i<=n;i++)
            for (int j=1;j<=n;j++){
                if (k-i+1<1||k-j+1<1)continue;//判断纵坐标的合法性
                    f[k][i][j]=mymax(f[k-1][i][j],f[k-1][i-1][j-1],f[k-1][i][j-1],f[k-1][i-1][j])+a[i][k-i+1]+a[j][k-j+1];
                if(i==j)//重合删掉一个(若数据中有负数则不能这么判重!)
                    f[k][i][j]-=a[i][k-i+1];
            }
    printf("%d\n",f[n+m-1][n][n]);
    return 0;
}

二维

其实就是滚动数组优化辣，时间不变，但是空间会小很多。

在三维中，我们可以看出状态的转移只和上一行有关，所以可以想到滚动数组。

去重方法就是使$j>i$（比较显然吧）。

（不知为何$maxn$设成55会WA $n=50,m=50$ 的点，改成210才行，为了调这个感觉都要成浪费学校评测机资源了）

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=210;
int n,m;
int f[maxn][maxn],a[maxn][maxn];
int mymax(int a,int b,int c,int d){
    return max(max(max(a,b),c),d);
}
int main(){
	//freopen("1.txt","r",stdin);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    for (int k=1;k<=n+m-1;k++)
        for (int i=n;i>=1;i--)
            for (int j=n;j>i;j--)
                f[i][j]=mymax(f[i][j],f[i-1][j-1],f[i][j-1],f[i-1][j])+a[i][k-i+1]+a[j][k-j+1];
    printf("%d\n",f[n-1][n]);
    return 0;
}

写完本篇题解心态已经崩了

UPD：附日常解法（大家都这么写的诶orz）:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=55;
int m,n;
int a[maxn][maxn];
int f[maxn][maxn][maxn][maxn];
int main(){
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			scanf("%d",&a[i][j]);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			for(int k=1;k<=m&&i+j>k;k++){
				int q=i+j-k;
				if(i==k)
					f[i][j][k][q]=max(max(max(f[i-1][j][k-1][q],f[i][j-1][k-1][q]),f[i-1][j][k][q-1]),f[i][j-1][k][q-1])+a[i][j];
				else
					f[i][j][k][q]=max(max(max(f[i-1][j][k-1][q],f[i][j-1][k-1][q]),f[i-1][j][k][q-1]),f[i][j-1][k][q-1])+a[i][j]+a[k][q];
			}
		}
	}
	printf("%d",f[m][n][m][n]);
	return 0;
}

最后这个代码块的高亮没了？我谔谔