求数值的n次方根

二分法

float SqrtByBisection(float n) //用二分法
{
    if(n<0) //小于0的按照你需要的处理
        return n;
    float mid,last;
    float low,up;
    low=0,up=n;
    mid=(low+up)/2;
    do
    {
        if(mid*mid>n)
            up=mid;
        else
            low=mid;
        last=mid;
        mid=(up+low)/2;
    }while(abs(mid-last) > eps);//精度控制
    return mid;
}

二分法和系统函数性能差距几百倍。

牛顿迭代法

要求\(t^\frac {1} {n}\)，设所求值为\(x\)，可列方程\(x^n - t = 0\)，令\(f(x) = x^n - t = 0\)，现使用泰勒公式在一个初始的点\(x_0\)处展开\(f(x)\)，有

\[f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) = 0,
x = x_0 - \frac {f(x_0)} {f'(x_0)}
$$，
这样计算出的$x$必然存在误差（除非你$x_0$初始值给定的就直接是精确结果，这个概率很小），那我们将计算出的$x$再作为第二次迭代的初始值$x_1$带入上式中，得到$x_2$，以此类推，即有：
\]

x_1 = x_0 - \frac {f(x_0)} {f'(x_0)},

x_2 = x_1 - \frac {f(x_1)} {f'(x_1)},

x_3 = x_2 - \frac {f(x_2)} {f'(x_2)},

...

x_{n+1} = x_n - \frac {f(x_n)} {f'(x_n)}

\[以上整个过程是一个不断迭代的过程，$x_{n+1} = x_n - \frac {f(x_n)} {f'(x_n)}$即为牛顿迭代法的一个迭代关系式，这样的过程得到的$x_0,x_1,x_2,...,x_{n+1}$的序列也就是不断趋向所求结果的一组解，根据维基百科中的描述：
> 已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。 并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。

因此，这样的过程是收敛的。
回到上面的式子，由$x_{n+1} = x_n - \frac {f(x_n)} {f'(x_n)}$，当求平方根的时候，该递推式变为$x_{n+1} = x_n - \frac {x^2_n - t} {2*x_n}$，化简，有$x_{n+1} = \frac {1} {2} * (x_n + \frac {t} {2*x_n})$，因此，写代码时就可以根据该式进行迭代求解。
例：
求根号2的值，假设初值$x_0 = 4$，
```
( 4 + 2/4 ) / 2 = 2.25
( 2.25 + 2/2.25 ) / 2 = 1.56944..
( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189..
( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423..
….
```
代码如下：
```cpp
float SqrtByNewton(float x)
{
float val = x;//最终
float last;//保存上一个计算的值
do
{
last = val;
val =(val + x/val) / 2;
}while(abs(val-last) > eps);
return val;
}
```\]