ZOJ-3774 Power of Fibonacci——等比数列求和&&等价替换

题目

求 $\displaystyle \sum_{i=1}^n F_i^k$，（$1 \leq n\leq 10^{18},1 \leq  k\leq 10^5$），答案对 $10^9+9$ 取模。

分析

将通项公式 $fib_i = \frac{1}{\sqrt{5}} ((\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^i - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^i)$ 代入，可以得到

$$\begin{align*} S & = (\frac{1}{\sqrt{5}})^k \sum\limits_{i=1}^n ((\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^i - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}) ^ i)^k \\ & = (\frac{1}{\sqrt{5}})^k \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=0}^k (-1)^{k-j} \binom{k}{j}(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{ij} (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^{i(k-j)} \\ &= (\frac{1}{\sqrt{5}})^k \sum\limits_{j=0}^k (-1)^{k-j} \binom{k}{j} \sum\limits_{i=1}^n [(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{j} (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^{k-j}]^i \\ &= (\frac{1}{\sqrt{5}})^k \sum\limits_{j=0}^k (-1)^{k-j} \binom{k}{j} (\frac{t^{n+1} - t}{t-1})
\end{align*}$$

因为 $x^2 \equiv 5(mod \ p)$，最终结果不含 $\sqrt 5$， 肯定是被平方了，所以可以用 $x$ 代替 $\sqrt 5$。

因为5在模 $10^9+9$意义下有二次剩余，所以 $\sqrt 5$ 有实际意义，那么我们可以从小到大枚举 $j$，后面那一部分是等比数列求和，注意特判公比为1.

如果5在某些模数下没有二次剩余，因为 $a \sqrt 5 + b% 在上述需要的运算（加、减、乘、除和幂）中是封闭的，所有我们可以用 $pair(a, b)$ 表示 $a \sqrt 5 + b$，并进行运算。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
inline int read(){
    int a = ;
    char c = getchar();
    bool f = ;
    while(!isdigit(c) && c != EOF){
        if(c == '-')
            f = ;
        c = getchar();
    }
    if(c == EOF)
        exit();
    while(isdigit(c)){
        a = a *  + c - ;
        c = getchar();
    }
    return f ? -a : a;
}

const int MOD = 1e9 +  , INV2 = (MOD + ) >> ;  //2*(p+1)/2=1
int n, k;

template < class T >
T poww(T a , int b){
    T times = ;
    while(b){
        if(b & ) times = times * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        b >>= ;
    }
    return times;
}

struct PII{
    int st , nd;
    PII(int _st =  , int _nd = ) : st(_st) , nd(_nd){}
    PII operator =(int b){return *this = PII(b , );}
    bool operator !=(PII a){return st != a.st || nd != a.nd;}
};
PII operator +(PII a , PII b){return PII((a.st + b.st) % MOD , (a.nd + b.nd) % MOD);}
PII operator -(PII a , PII b){return PII((a.st + MOD - b.st) % MOD , (a.nd + MOD - b.nd) % MOD);}
PII operator *(PII a , PII b){return PII((a.st * b.st +  * a.nd * b.nd) % MOD , (a.st * b.nd + a.nd * b.st) % MOD);}
PII operator *(PII a , int b){return PII(a.st * b % MOD , a.nd * b % MOD);}
PII operator %(PII a , int b){return a;}
PII operator /(PII a , PII b){return a * PII(b.st , MOD - b.nd) * poww((b.st * b.st -  * b.nd * b.nd % MOD + MOD) % MOD , MOD - );}

int solve(int x , int k){
    PII all( , );
    int C =  , sgn = poww(MOD -  , k);
    for(int j =  ; j <= k ; ++j){
        PII cur = poww(PII(INV2 , INV2) , j) * poww(PII(INV2 , MOD - INV2) , k - j);
        if(cur != PII( , ))
            all = all + (poww(cur , x + ) - cur) / (cur - PII( , )) * sgn * C;
        else
            all = all + PII(x % MOD , ) * sgn * C;
        C = C * (k - j) % MOD * poww(j +  , MOD - ) % MOD;
        sgn = sgn * (MOD - ) % MOD;
    }
    all = all * poww(PII( , poww(5LL , MOD - )) , k);  //模板要求poww的参数类型相同
    return all.st;
}

signed main(){
    for(int T = read() ; T ; --T){
        n = read(); k = read();
        printf("%lld\n" , solve(n , k));
    }
    return ;
}

参考链接：https://www.cnblogs.com/Itst/p/10735935.html