Leetcode之动态规划(DP)专题-1025. 除数博弈(Divisor Game)


爱丽丝和鲍勃一起玩游戏,他们轮流行动。爱丽丝先手开局。

最初,黑板上有一个数字 N 。在每个玩家的回合,玩家需要执行以下操作:

  • 选出任一 x,满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。
  • 用 N - x 替换黑板上的数字 N 。

如果玩家无法执行这些操作,就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 True,否则返回 false。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

示例 1:

输入:2
输出:true
解释:爱丽丝选择 1,鲍勃无法进行操作。

示例 2:

输入:3
输出:false
解释:爱丽丝选择 1,鲍勃也选择 1,然后爱丽丝无法进行操作。

提示:

  1. 1 <= N <= 1000

按照题意,我们利用DP(动态规划)来求解这个问题。

先说两句题外话,这个问题是一个数学问题,只要N是偶数,爱丽丝必胜。

选数,要满足这个条件:

  • 选出任一 x,满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。

偶数先手必胜。

因为先手为偶数的话,先手只需要让自己每步都保持偶数,那么他可以通过让对手得到的数为奇数,比如偶数-1就是奇数了,对手拿到奇数,那么能整除的只有奇数,奇数-奇数又回到了偶数,最后先手一定会得到最小的偶数2,然后-1让对手得到1,对手无解,必胜。

回到主题,我们用DP来求解这个问题,首先new一个长度为N+1的数组,dp[i]表示i这个数是否可以赢,如果为true则N=i可以赢,为false则输。

N=1,爱丽丝就肯定会输,所以我们首先让dp[1]=false;

然后我们从i=2开始,一直遍历到i=N

按照题意,我们让j每次从1到i-1的区间里取数,且需要满足

  • 选出任一 x,满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。

这个条件,如果发现dp[j]=false,那么dp[i]就一定会赢。

class Solution {
public boolean divisorGame(int N) {
boolean[] dp = new boolean[N + 1];
dp[1] = false;
for (int i = 2; i <= N; i++) {
for (int j = 1; j < i; j++) {
if(!dp[i-j] && i%j==0){
dp[i] = true;
break;
}
}
}
return dp[N];
}
}

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