HDU 5226 Tom and matrix(组合数学+Lucas定理)
题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5226
题意:给一个矩阵a,a[i][j] = C(i,j)(i>=j) or 0(i < j),求(x1,y1),(x2,y2)这个子矩阵里面的所有数的和。
思路:首先可以推导出一个公式C(n,i)+C(n + 1,i)+...+C(m,i) = C(m + 1,i + 1)
知道了这个公式,就可以将子矩阵里每行(或每列)的和值表示成组合数的差值,现在的关键是求出C(n,m)(mod p).
由于n和m可能很大,p很小,不能直接求,要借助Lucas定理。关于Lucas定理,可参考:http://www.cnblogs.com/zxndgv/archive/2011/09/17/2179591.html。
code:
#include <cstdio>
typedef __int64 LL;
const int MAXN = ;
int p;
LL fac[MAXN]; // 得到阶乘 fac[i] = i! % p
void GetFact()
{
fac[] = ;
for (LL i = ; i < MAXN; ++i)
fac[i] = fac[i - ] * i % p;
} // 快速模幂 a^b % p
LL Pow(LL a, LL b)
{
LL temp = a % p;
LL ret = ;
while (b)
{
if (b & ) ret = ret * temp % p;
temp = temp * temp % p;
b >>= ;
}
return ret;
} /*
欧拉定理求逆元
(a / b) (mod p) = (a * x) (mod p) x表示b的逆元 并且 b * x = 1 (mod p) 只有b和p互质才存在逆元 b * x = 1 (mod p) x是b关于p的逆元 b^phi(p) = 1 (mod p) b * b^(phi(p) - 1) (mod p) = b * x (mod p) x = b^(phi(p) - 1) = b^(p - 2) (a / b) (mod p) = (a * x) (mod p) = (a * b^(p - 2)) (mod p) 经过上面的推导,得出: (a / b) (mod p) = (a * b^(p - 2)) (mod p) (b 和 p互质) */
LL Cal(LL n, LL m)
{
if (m > n) return ;
return fac[n] * Pow(fac[m] * fac[n - m], p - ) % p;
} LL Lucas(LL n, LL m)
{
if (m == ) return ;
return Cal(n % p, m % p) * Lucas(n / p, m / p) % p;
} int main()
{
int x1, y1, x2, y2;
while (scanf("%d %d %d %d %d", &x1, &y1, &x2, &y2, &p) == )
{
if (x2 < y1) // 预判 子矩阵全部0值区域
{
printf("0\n");
continue;
}
if (x2 == y1) // 预判 子矩阵只有右上角值为1,其余为0
{
printf("1\n");
continue;
}
GetFact();
if (x1 < y1) x1 = y1;
if (y2 > x2) y2 = x2;
LL ans = ;
for (int i = y1; i <= y2; ++i)
{
if (i > x1)
ans = (ans + Lucas(x2 + , i + )) % p;
else
ans = (ans + Lucas(x2 + , i + ) - Lucas(x1 + , i + ) + Lucas(x1, i)) % p;
}
printf("%I64d\n", ans);
}
return ;
}
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