M - 酱神的旅行

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酱神要去一棵树上旅行。

酱神制定了一个旅行计划,他要按顺序去m个树上的结点,a1,a2,a3,...,am。

酱神有一辆车,树上的每一条边既可以开车通过,也可以走过去,两种方法需要不同的时间。如果选择走路,酱神需要先把车停在结点上,在他下一次要开车的时候,必须先回到停车的结点取车。

酱神和他的爱车一开始都在a1结点上,酱神要依次访问完这m个结点最少需要多少时间。

Input

第一行两个数n,m。

1=<n,m<=5000

接下来n−1行,每行4个数,u,v,walk,drive。表示结点u和结点v之间有一条走路耗时为walk,开车耗时为drive的边。

1=<u,v<=n

1=<walk,drive<=109

最后输入m个数,a1,a2,a3,...,am, 酱神要按顺序访问的结点。

1=<ai<=n

Output

输出一个数,酱神的最小耗时。

Sample input and output

Sample Input Sample Output
2 2
1 2 3 100
1 2
3
4 4
1 2 1 20
3 2 100 1
2 4 1 100
1 2 3 4
23

解题报告:

注意到树上两个点之间的路径是唯一的,且访问点的顺序是固定的,也就是说,经过的点的顺序是固定的,于是我们不妨令

dp(i , j )表示在路径在的第 i 个点,且是否有车的最小花费( 0 -> 无车 , 1 -> 有车 )

dp(cur , 0 ) = min ( dp( cur^1 , 0 ) , dp( cur^1 , 1 ) ) + walk_cost( i -> i + 1) )

è 直接走路过来 / 把车停在上一个点

dp(cur , 1 ) = min ( dp( cur^1 , 1 ) + car_cost(i -> i + 1)  , f[r] + sum[i] )  -> r = a[i]

-> 直接开车过来 / 原来车就停在这,现在回来取(维护走路长度的前缀和)

-> f[r] = min( f[r] , dp(cur , 1) - sum[ cur ^ 1 ] );

注意到本题时限的原因,每次调用无根树转有根树时,需用BFS实现

若需要进一步降低时限,可使用LCA的离线算法,可将复杂度降低至O(N + Q),求路径上的点就不再累述.

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#define pb push_back
typedef long long ll;
const int maxn = 5e3 + ;
const ll inf = ;
using namespace std;
int n,m,prenode[maxn],cur = ,h[maxn],passnode[maxn],size,pretarget,target;
ll dp[][],f[maxn],sum[],walkdis[maxn],cardis[maxn]; typedef struct Edge
{
int target,walk,drive;
Edge(const int & target, const int & walk , const int & drive)
{
this->target = target , this->walk = walk , this->drive = drive;
}
}; vector<Edge>E[maxn]; typedef struct status
{
int pos,fat;
}; //无根树转有根树,BFS实现(比递归快 20 % )
inline void init_prenode(int pos)
{
status q[maxn*];
register int front = , rear = ;
q[rear].pos = pos , q[rear++].fat = ;
while(front < rear)
{
int thispos = q[front].pos;
int thisfat = q[front].fat;
prenode[thispos] = thisfat;
for(int i = ; i < E[thispos].size() ; ++ i)
{
int nextnode = E[thispos][i].target;
if (nextnode != thisfat)
{
if (prenode[nextnode] == thispos) continue; //剪枝
q[rear].pos = nextnode , q[rear++].fat = thispos;
}
else
walkdis[thisfat] = E[thispos][i].walk , cardis[thisfat] = E[thispos][i].drive;
}
++front;
}
} inline void add_nodes()
{
int k = prenode[pretarget];
while(k)
{
passnode[size++] = k;
k = prenode[k];
}
} int main(int argc,char *argv[])
{
int st;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i = ; i < n - ; ++ i)
{
int a,b,c,d;
scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
E[a].pb(Edge(b,c,d));
E[b].pb(Edge(a,c,d));
}
for(int i = ; i <= ; ++ i)
f[i] = inf;
memset(dp,,sizeof(dp));
memset(sum,,sizeof(sum));
memset(prenode,,sizeof(prenode));
memset(cardis,,sizeof(cardis));
memset(walkdis,,sizeof(walkdis));
size = ;
dp[cur][] = inf;
dp[cur][] = ;
if (m == )
{
printf("0\n");
return ;
}
scanf("%d",&pretarget);
init_prenode(pretarget);
for(int times = ; times < m ; ++ times)
{
scanf("%d",&target);
size = ;
init_prenode(target);
add_nodes();
for(int i = ; i < size ; ++ i)
{
cur ^= ;
int r = passnode[i];
sum[cur] = sum[cur^] + walkdis[r];
dp[cur][] = min(dp[cur^][] , dp[cur^][]) + walkdis[r];
dp[cur][] = min( dp[cur^][] + cardis[r] , f[r] + sum[cur]);
f[r] = min(f[r] , dp[cur][] - sum[cur]);
}
pretarget = target;
}
printf("%lld\n",min(dp[cur][],dp[cur][]));
return ;
}

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