递归方程T(n)=aT(n/b)+f(n)之通用解法

，b＞1为常数，f(n)为函数，T(n)=aT(n/b)+f(n)为非负数,令x=log_ba：

1.       f(n)=o(n^x-e)，e＞0，那么T(n)=O(n^x)。

2.       f(n)=O(n^x)，那么T(n)=O(n^x logn)。

3.       f(n)=w(n^x+e)，e＞0且对于某个常数c＜1和所有充分大的n有af(n/b)≤cf(n)，那么T(n)=O(f(n))。

然而，Master定理并没有完全包括所有的f(n)的情况。注意到条件1和3中的e总是大于0的，所以在条件1和2、条件2和3之间存在所谓的“间隙”，使得某些f(n)在该情况下不能使用该定理。因此，我们需要找到在Master定理不能使用的情况下如何解递归方程的比较通用的办法——递归树。

经过分析，递归树解法包含了Master定理，但是Master定理可以方便的判断出递归方程的解。产生这种结果的原因关键在于f(n)的形式，显然，当f(n)是n的多项式p(n)形式的话必然满足Master定理的要求，但是f(n)不是多项式就需要另当别论了。

下面就题目所列出的递归方程形式进行分析。

。根据递归树计算方式，有：

T(n)= aT(n/b)+n^k 。

T(n/b)= aT(n/b²)+(n/b)^k 。

T((n/b²)= aT(n/b³)+( n/b²)^k 。

……

于是得到：T(n)= n^k (1+ a/ b^k + (a/ b^k)² + (a/ b^k)³ +···+
(a/ b^k)^h)，h=log_bn。

1：log_ba=k

              这种情况下a/ b^k= 1，显然T(n)= O(n^k log_bn)。

2：log_ba≠k

此时等比数列公比不是1，根据等比数列求和公式化简得到：

T(n)=( n^k –n^x)/(1-a/b^k)，x=log_ba。

如果log_ba<k，则T(n)= O(n^k)。

如果log_ba>k，则T(n)= O(n^x)。x=log_ba。

通过以上的计算表明，在Master定理的条件中，针对f(n)为多项式的情况可以使用递归树的方法进行证明和计算。同样，在f(n)不是多项式的时候也可以通过的这种方式得到方程的解。

二、f(n)是一般函数

当f(n)不是n的多项式的时候，计算就会变得比较复杂，有时可能会也找不到最终的解。但是递归树的方法给我们一种更好使用的解决办法。下面根据一个简单的例子说明这一点：

当a=b=2、f(n)=nlgn时候（lgn:log₂n的简记），计算递归方程的解。

T(n)= 2T(n/2)+nlgn 。

T(n/b)= 2T(n/2²)+(n/2)lg(n/2)。

T((n/b²)= 2T(n/2³)+ (n/2²)lg(n/2²)。

……

于是得到：T(n)= nlgn+(nlgn-lg2)+ (nlgn-2lg2)+ (nlgn-2²lg2)+···+(nlgn-2^hlg2)，h=lgn。

根据等差、等比数列求和公式化简有：

T(n)=n(lgn)² –(n-1)lg2，所以T(n)= O( n(lgn)²)，而不是O(
nlgn)。

通过这个例子可以看出，当f(n)不是多项式的时候计算就有可能变得比较复杂，甚至无法计算。但是通过Master定理以及具体的数学变换技巧在某些情况下还是可行的。

综上所述，可以得出以下结论：在针对形如T(n)=aT(n/b)+f(n)的递归方程求解方法里，使用递归树是一种比较可行的通用办法。

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T(n)=2T(n/2)+n=o(nlogn)

大o记号：大O符号（Big O notation）是用于描述函数渐进行为的数学符号。更确切地说，它是用另一个（通常更简单的）函数来描述一个函数数量级的渐近上界（百度百科）

T(n)=2T(n/2)+n

设n=2^k
T(n/2)=2T(n/2^2)+n/2
T(n/2^2)=2T(n/2^3)+n/2^2
T(n)=2T(n/2)+n=2^2T(n/2^2)+2*n/2+n=2^3T(n/2^3)+2^2*n/2^2+2*n/2+n
    =2^kT(1)+kn=nT(1)+kn=n(logn+T(1))=o(nlogn)
    

注：T(1)是常数，可以忽略

参考：https://blog.csdn.net/lsp1991/article/details/39890945

https://blog.csdn.net/yuyajun06/article/details/79791508?utm_source=copy 

https://en.wikipedia.org/wiki/Master_theorem_(analysis_of_algorithms)

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