正则化项L1和L2

本文从以下六个方面，详细阐述正则化L1和L2：

一. 正则化概述

正则化（Regularization），L1和L2是正则化项，又叫做罚项，是为了限制模型的参数，防止模型过拟合而加在损失函数后面的一项。

机器学习中几乎都可以看到损失函数后面会添加一个额外项，常用的额外项一般有两种，一般英文称作ℓ₁-norm和ℓ₂-norm，中文称作L1正则化和L2正则化，或者L1范数和L2范数。

L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。下图是Python中Lasso回归的损失函数，式中加号后面一项α||w||₁即为L1正则化项。

下图是Python中Ridge回归的损失函数，式中加号后面一项α||w||₂²即为L2正则化项。

一般回归分析中回归w表示特征的系数，从上式可以看到正则化项是对系数做了处理（限制）。

L1正则化和L2正则化的说明：

L1正则化是指权值向量ww中各个元素的绝对值之和，通常表示为||w||₁
L2正则化是指权值向量ww中各个元素的平方和然后再求平方根（可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号），通常表示为||w||₂
一般都会在正则化项之前添加一个系数，Python中用α表示，一些文章也用λ表示。这个系数需要用户指定。

L1正则化和L2正则化的作用：

L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择
L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止过拟合

二. 稀疏模型与特征选择

上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵？

稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

三. 正则化直观理解

这部分内容将解释为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则化可以防止过拟合。

L1正则化和特征选择
假设有如下带L1正则化的损失函数：

其中J₀是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项，α是正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和，J是带有绝对值符号的函数，因此J是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数J₀后添加L1正则化项时，相当于对J₀做了一个约束。令L=α∑_w|w|，则J=J₀+L，此时我们的任务变成在L约束下求出J₀取最小值的解。考虑二维的情况，即只有两个权值w¹和w²，此时L=|w¹|+|w²||对于梯度下降法，求解J₀的过程可以画出等值线，同时L1正则化的函数L也可以在w¹w²二维平面上画出来。如下图：

图1 L1正则化

图中等值线是J₀的等值线，黑色方形是L函数的图形。在图中，当J₀等值线与L图形首次相交的地方就是最优解。上图中J₀与L在L的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是(w¹,w²)=(0,w)。可以直观想象，因为L函数有很多『突出的角』（二维情况下四个，多维情况下更多），J₀与这些角接触的机率会远大于与L其它部位接触的机率，而在这些角上，会有很多权值等于0，这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。

而正则化前面的系数α，可以控制L图形的大小。α越小，L的图形越大（上图中的黑色方框）；α越大，L的图形就越小，可以小到黑色方框只超出原点范围一点点，这是最优点的值(w¹,w²)=(0,w)中的w可以取到很小的值。

类似，假设有如下带L2正则化的损失函数：

同样可以画出他们在二维平面上的图形，如下：

图2 L2正则化

二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角。因此J₀与L相交时使得w¹或w²等于零的机率小了许多，这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因。

L2正则化和过拟合

拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。

那为什么L2正则化可以获得值很小的参数？

以线性回归中的梯度下降法为例。假设要求的参数为θ，h_θ(x)是我们的假设函数，那么线性回归的代价函数如下：

那么在梯度下降法中，最终用于迭代计算参数θ的迭代式为：

其中αα是learning rate. 上式是没有添加L2正则化项的迭代公式，如果在原始代价函数之后添加L2正则化，则迭代公式会变成下面的样子：

其中λλ就是正则化参数。从上式可以看到，与未添加L2正则化的迭代公式相比，每一次迭代，θ_j都要先乘以一个小于1的因子，从而使得θ_j不断减小，因此总得来看，θ是不断减小的。
最开始也提到L1正则化一定程度上也可以防止过拟合。之前做了解释，当L1的正则化系数很小时，得到的最优解会很小，可以达到和L2正则化类似的效果。

四. 正则化参数选择

L1正则化参数
通常越大的λλ可以让代价函数在参数为0时取到最小值。下面是一个简单的例子，这个例子来自Quora上的问答。为了方便叙述，一些符号跟这篇帖子的符号保持一致。

假设有如下带L1正则化项的代价函数：

其中x是要估计的参数，相当于上文中提到的w以及θ. 注意到L1正则化在某些位置是不可导的，当λ足够大时可以使得F(x)在x=0时取到最小值。如下图：

图3 L1正则化参数的选择

分别取λ=0.5和λ=2，可以看到越大的λλ越容易使F(x)在x=0时取到最小值。

L2正则化参数
从公式5可以看到，λ越大，θ_j衰减得越快。另一个理解可以参考图2，λ越大，L2圆的半径越小，最后求得代价函数最值时各参数也会变得很小。

五. L1和L2正则化区别

　　1.L1是模型各个参数的绝对值之和。

　　　L2是模型各个参数的平方和的开方值。

　　2.L1会趋向于产生少量的特征，而其他的特征都是0.

　　　因为最优的参数值很大概率出现在坐标轴上，这样就会导致某一维的权重为0 ，产生稀疏权重矩阵

　　 L2会选择更多的特征，这些特征都会接近于0。

最优的参数值很小概率出现在坐标轴上，因此每一维的参数都不会是0。当最小化||w||时，就会使每一项趋近于0

六. 正则化问题讨论

1.为什么参数越小代表模型越简单？

　　越是复杂的模型，越是尝试对所有样本进行拟合，包括异常点。这就会造成在较小的区间中产生较大的波动，这个较大的波动也会反映在这个区间的导数比较大。

　　只有越大的参数才可能产生较大的导数。因此参数越小，模型就越简单。

2.实现参数的稀疏有什么好处？

　　因为参数的稀疏，在一定程度上实现了特征的选择。一般而言，大部分特征对模型是没有贡献的。这些没有用的特征虽然可以减少训练集上的误差，但是对测试集的样本，反而会产生干扰。稀疏参数的引入，可以将那些无用的特征的权重置为0.

3.L1范数和L2范数为什么可以避免过拟合？

　　加入正则化项就是在原来目标函数的基础上加入了约束。当目标函数的等高线和L1,L2范数函数第一次相交时，得到最优解。

　　L1范数：L1范数符合拉普拉斯分布，是不完全可微的。表现在图像上会有很多角出现。这些角和目标函数的接触机会远大于其他部分。就会造成最优值出现在坐标轴上，因此就会导致某一维的权重为0 ，产生稀疏权重矩阵，进而防止过拟合。

　　L2范数：L2范数符合高斯分布，是完全可微的。和L1相比，图像上的棱角被圆滑了很多。一般最优值不会在坐标轴上出现。在最小化正则项时，可以是参数不断趋向于0.最后活的很小的参数。