LG P3768 简单的数学题
\(\text{Problem}\)
求
\]
\(n \le 10^{10},5 \times 10^8 \le p \le 1.1 \times 10^9\) 且 \(p \in \mathbb{P}\)
\(\text{Solution}\)
显然走欧拉反演
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n i j \gcd(i,j)
&= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n i j \sum_{d|\gcd(i,j)} \varphi(d) \\
&= \sum_{d=1}^n \varphi(d) \sum_{d|i} i \sum_{d|j} j \\
&= \sum_{d=1}^n \varphi(d) \sum_{i=1}^{\lfloor \frac n d \rfloor} i \sum_{j=1}^{\lfloor \frac n d \rfloor} j \\
&= \sum_{d=1}^n d^2 \varphi(d) S^3 (\lfloor \frac n d \rfloor)
\end{aligned}
\]
\(\varphi\) 后面的部分可以用等差数列求和公式的平方得到(它恰恰连续自然数三次方和的求和公式)
这个式子显然可以数论分块(非常显然)
那么重点就是求 \(S(n)=\sum_{d=1}^n d^2 \varphi(d)\)
杜教筛即可
即考虑卷积 \(f * g\),记 \(f(n)=n^2 \varphi(n)\),令 \(g = ID^2\)
\]
那么
g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n (f*g)(n) - \sum_{i=2}^n g(i)S(\lfloor \frac n i \rfloor) \\
S(n) = \sum_{i=1}^n i^3 - \sum_{i=2}^n i^2 S(\lfloor \frac n i \rfloor)
\end{aligned}
\]
仍然可以数论分块,利用平方和与立方和公式快速计算
\(\text{Code}\)
#include<cstdio>
#include<tr1/unordered_map>
#define LL long long
#define maxn 5000000
#define N 5000005
using namespace std;
int vis[N], phi[N], prime[N], totp;
LL P, n, inv6, sf[N];
tr1::unordered_map<LL, LL> SF;
inline LL fpow(LL x, LL y)
{
LL res = 1;
for(; y; y >>= 1)
{
if (y & 1) res = res * x % P;
x = x * x % P;
}
return res;
}
inline LL S2(LL n)
{
n %= P;
return n * (n + 1) % P * (n * 2 + 1) % P * inv6 % P;
}
inline LL S3(LL n)
{
n %= P;
return n * (n + 1) / 2 % P * (n * (n + 1) / 2 % P) % P;
}
inline void sieve()
{
vis[1] = phi[1] = 1;
for(register int i = 2; i <= maxn; i++)
{
if (!vis[i]) prime[++totp] = i, phi[i] = i - 1;
for(register int j = 1; j <= totp && prime[j] * i <= maxn; j++)
{
vis[i * prime[j]] = 1;
if (i % prime[j]) phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
else{phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j]; break;}
}
}
for(register int i = 1; i <= maxn; i++) sf[i] = (sf[i - 1] + (LL)i * i % P * phi[i] % P) % P;
}
LL SumF(LL n)
{
if (n <= maxn) return sf[n];
if (SF[n]) return SF[n];
LL res = S3(n), r;
for(register LL l = 2; l <= n; l = r + 1)
{
r = n / (n / l);
res = (res - (S2(r) - S2(l - 1) + P) % P * SumF(n / l) % P + P) % P;
}
return SF[n] = res;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld", &P, &n);
sieve();
LL ans = 0, r; inv6 = fpow(6, P - 2);
for(register LL l = 1; l <= n; l = r + 1)
{
r = n / (n / l);
ans = (ans + S3(n / l) * (SumF(r) - SumF(l - 1) + P) % P) % P;
}
printf("%lld\n", ans);
}
LG P3768 简单的数学题的更多相关文章
- 洛谷 P3768 简单的数学题 解题报告
P3768 简单的数学题 题目描述 由于出题人懒得写背景了,题目还是简单一点好. 输入一个整数\(n\)和一个整数\(p,\)你需要求出\((\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgc ...
- Luogu P3768 简单的数学题
非常恶心的一道数学题,推式子推到吐血. 光是\(\gcd\)求和我还是会的,但是多了个\(ij\)是什么鬼东西. \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij\gcd(i,j)=\sum_ ...
- 【刷题】洛谷 P3768 简单的数学题
题目描述 由于出题人懒得写背景了,题目还是简单一点好. 输入一个整数n和一个整数p,你需要求出(\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ijgcd(i,j))~mod~p\),其中gcd ...
- P3768 简单的数学题 杜教筛+推式子
\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\) 由于出题人懒得写背景了,题目还是简单一点好. 输入一个整数n和一个整数p,你需要求出(\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n ij ...
- P3768 简单的数学题(莫比乌斯反演)
[题目链接] https://www.luogu.org/problemnew/show/P3768 [题目描述] 求 \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}i* j* gcd( ...
- 【Luogu】P3768简单的数学题(杜教筛)
题目链接 emm标题全称应该叫“莫比乌斯反演求出可狄利克雷卷积的公式然后卷积之后搞杜教筛” 然后成功地困扰了我两天qwq 我们从最基本的题意开始,一步步往下推 首先题面给出的公式是$\sum\limi ...
- 洛谷 - P3768 - 简单的数学题 - 欧拉函数 - 莫比乌斯反演
https://www.luogu.org/problemnew/show/P3768 \(F(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}ijgcd(i ...
- 洛谷 P3768 简单的数学题
https://www.luogu.org/problemnew/show/P3768 化简一下式子,就是$\sum_{d=1}^ncalc(d)d^2\varphi(d)$ 其中$calc(d)=\ ...
- 洛谷P3768 简单的数学题
解: 神奇的一批......参观yyb巨神的博客. 大致思路就是第一步枚举gcd,发现后面有个限制是gcd=1,用反演,得到的F(x)是两个等差数列求积. 然后发现有个地方我们除法的除数是乘积,于是换 ...
- [P3768]简单的数学题
Description: 求出\((\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n ij\ gcd\ (i,j)) mod\ p\) Hint: \(n<=10^{10}\) Soluti ...
随机推荐
- 协程Part1-boost.Coroutine.md
首先,在计算机科学中 routine 被定义为一系列的操作,多个 routine 的执行形成一个父子关系,并且子 routine 一定会在父 routine 结束前结束,也就是一个个的函数执行和嵌套执 ...
- Day27:异常详解
异常 1.1 异常概述 异常(Exception)指程序运行中出现的不正常情况:文件找不到.网络异常.非法参数等等. 我们通过代码来了解一下: public class Demo{ public st ...
- 常用函数/异常处理/for循环本质
常用内置函数 1,map() - 映射 格式: map(函数,可遍历对象) 指将遍历的元素挨个取出来做函数的行参传参,得到的返回值全部放回map工厂中,map工厂可以被转换成列表查看到 每一个被函数处 ...
- 现代 CSS 高阶技巧,像 Canvas 一样自由绘图构建样式!
在上一篇文章中 -- 现代 CSS 之高阶图片渐隐消失术,我们借助了 CSS @Property 及 CSS Mask 属性,成功的实现了这样一种图片渐变消失的效果: CodePen Demo -- ...
- 像go 一样 打造.NET 单文件应用程序的编译器项目bflat 发布 7.0版本
现代.NET和C#在低级/系统程序以及与C/C++/Rust等互操作方面的能力完全令各位刮目相看了,有人用C#开发的64位操作系统: GitHub - nifanfa/MOOS: C# x64 ope ...
- 3、mysql着重号解决关键字冲突
1.着重号(` `): 使用着重号(` `)将字段名或表名括起来解决冲突:保证表中的字段.表名等没有和保留字.数据库系统名或常用方法名冲突
- [生命科学] 生物基础实验之PCR验证
生物基础实验之PCR验证 文章目录 生物基础实验之PCR验证 实验步骤一 实验步骤二 实验步骤三 配胶 实验步骤四 电泳 实验步骤五 跑胶 实验步骤一 在离心管加入7.5μL Master Mix 溶 ...
- Redis缓存何以一枝独秀?(2) —— 聊聊Redis的数据过期、数据淘汰以及数据持久化的实现机制
大家好,又见面了. 本文是笔者作为掘金技术社区签约作者的身份输出的缓存专栏系列内容,将会通过系列专题,讲清楚缓存的方方面面.如果感兴趣,欢迎关注以获取后续更新. 上一篇文章中呢,我们简单的介绍了下Re ...
- SQL29 计算用户的平均次日留存率
SQL29 计算用户的平均次日留存率 困难 通过率:48.58% 时间限制:1秒 空间限制:256M 描述 题目:现在运营想要查看用户在某天刷题后第二天还会再来刷题的平均概率.请你取出相应数据. 示例 ...
- 关于 Dev-C++ 中缺少 iconv.h 的问题
前言 在 C++ 中有个扩展库 ext,里面有一些黑科技(hash, splay, binomial_heap 等等), 在 Windows 环境中,我们运行 Dev-C++ 并在头文件写 #incl ...