FHQ Treap 详解

鲜花

一些鲜花放在前面，平衡树学了很久，但是每学一遍都忘，原因就在于我只能 70% 理解 + 30% 背板子，所以每次都忘。这次我采取了截然不同的策略，自己按照自己的理解打一遍，大获成功（？），大概打 20 min，调 10 min 结束，然后写下了这篇文章。

虽然但是，感觉 Treap 还是很强的，代码好写好调，而且可以解决很多问题（下面将会提到），好像说是常数大一点？无伤大雅吧……

Treap

首先，从 Treap 的定义开始。Treap 实际上是一种笛卡尔树（笛卡尔树可以看 这篇文章，每个点有两个信息 \((v_u,p_u)\)，分别表示点 \(u\) 的权值与优先度。\(v_u\) 形成一个二叉搜索树（左儿子的值 \(\leq\) 自己的值 \(\leq\) 右儿子的值），\(p_u\) 形成一个大根堆（自己的值 \(\geq\) 左右儿子的值）。

你可以利用 Treap 做很多有用的操作，但是 Treap 有一个缺点，就是如果被卡成链怎么办？

FHQ Treap

这时候就需要用到 FHQ Treap，它基于 Treap 的基础上对每个点的 \(p\) 值都进行了随机化操作，这样就可以达到平衡的目的了。为什么？因为随机出来不平衡的概率很小，大多随机数都是无规律的，这样通过大根堆的性质就可以使它达到平衡，这样树高期望就是 \(O(\log n)\) 层的了，并且无法卡掉，因为随机数是程序生成的，并非数据所决定。

系统随机函数若以 srand(time(0)) 为随机种子，效果不佳，推荐使用 mt19937 rnd(233)，生成随机数更加均匀。

FHQ Treap 又叫无旋 Treap，它只需要两个核心操作 merge() 和 split() 即可完成所有的复杂操作，就像玩拼图一样把一棵树拆开再拼起来一样。下面就来具体介绍一下这两个函数到底是如何实现的。

关于 upd 函数的说明

（这个可以学完下面的再看）upd 函数，即刷新一个节点大小的函数。在 split() 中，在分裂完子树后最后应该刷新，不然可能大小信息已经被更改而不知道。同理，在 merge() 中，合并子树后也应当刷新，调不出来一定要检查一下是否因忘记刷新而错误。

split 函数

split 函数实现的功能是把一棵树按照权值大小拆分成两棵树，具体来说，split(int cur,int k,int &x,int &y) 表示将以 cur 为根的子树拆分成两棵树 \(x\) 和 \(y\)，其中 \(x\) 里的权值都 \(\leq k\)，\(y\) 里的权值都 \(>k\)。

怎么写呢？首先，为了方便返回，直接将要拆分成的两棵子树引用定义在函数参数中。先特判一下，如果要拆分的树为空，则拆分出来的两棵树也为空。不然就判断树根是否 \(\leq k\)，如果是，则树左子树都 \(\leq k\)，即属于 \(x\)，那么只要分裂右子树即可，反之亦然。

代码

void split(int cur,int k,int &x,int &y)
{
    if(!cur)
    {
        x=y=0;
        return;
    }
    if(tree[cur].val<=k)
    {
        x=cur;
        split(tree[x].rs,k,tree[x].rs,y);
    }
    else
    {
        y=cur;
        split(tree[y].ls,k,x,tree[y].ls);
    }
    upd(cur);
}

merge 函数

merge 函数就是把两个树 \(x,y\) 合并，保证所有 \(x\) 中的 \(v\) 都 \(\leq\) 所有 \(y\) 中的 \(v\)，具体来说，就是 int merge(int x,int y)。

写法就是判断 \(x,y\) 中是否有空树，有的话直接返回另一个即可。不然比较两者根的有先值，如果第一个大，根据大根堆性质，显然应该合并 \(x\) 的右子树和 \(y\)，反之亦然。

代码

int merge(int x,int y)
{
    if(!x||!y)
        return x+y;
    if(tree[x].key>=tree[y].key)
    {
        tree[x].rs=merge(tree[x].rs,y);
        upd(x);
        return x;
    }
    else
    {
        tree[y].ls=merge(x,tree[y].ls);
        upd(y);
        return y;
    }
}

其他操作的实现

下面来看看 FHQ Treap 能实现哪些操作吧，请看模板题 普通平衡树。（下面全部内容为笔者自己发挥，若有更好做法请在评论区留言或私信笔者）

插入 \(x\)：将根以 \(x\) 值分裂，在中间建一个新的点合并回去即可，比较容易。

删除 \(x\)：将根分别以 \(x-1,x\) 分裂，中间一个树就是权值为 \(x\) 的树，把这个树替换为它左右子树合并的结果即可（因为只要删一个，相当于把根节点给删了。

查询 \(x\) 的排名：这个非常容易，直接按 \(x-1\) 分裂并输出第一个子树大小 +1 即可。

查询排名为 \(x\) 的数：这个可以从根节点开始，不停地判断应该往左子树走还是右子树走，判断方式就是看当前点地左子树大小 +1 和 \(x\) 的大小关系，若相等则直接退出。

**查询 \(x\) 的前驱：$$笔者做法比较暴力，直接将数按 \(x-1\) 分裂，第一棵树的最后一个就是，最后一个求可以查询排名为数大小的数，用之前的函数可以求出。

**查询 \(x\) 的后继：$$同前驱做法，按 \(x\) 分裂，第二棵树的第一个就是，同样查询排名为 1 的树即可，使用之前的函数。

具体的还是看代码吧。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define TIME 1e3*clock()/CLOCKS_PER_SEC
using namespace std;
// stay organized
mt19937 rnd(233);
const int maxn=1e5+10;
struct Node
{
    int ls,rs;
    int siz;
    int val,key;
}tree[maxn];
int rt=0,tot=0;
int newnode(int val)
{
    tot++;
    tree[tot].ls=tree[tot].rs=0;
    tree[tot].siz=1;
    tree[tot].val=val;
    tree[tot].key=rnd();
    return tot;
}
void upd(int x)
{
    tree[x].siz=tree[tree[x].ls].siz+1+tree[tree[x].rs].siz;
}
void split(int cur,int k,int &x,int &y)
{
    if(!cur)
    {
        x=y=0;
        return;
    }
    if(tree[cur].val<=k)
    {
        x=cur;
        split(tree[x].rs,k,tree[x].rs,y);
    }
    else
    {
        y=cur;
        split(tree[y].ls,k,x,tree[y].ls);
    }
    upd(cur);
}
int merge(int x,int y)
{
    if(!x||!y)
        return x+y;
    if(tree[x].key>=tree[y].key)
    {
        tree[x].rs=merge(tree[x].rs,y);
        upd(x);
        return x;
    }
    else
    {
        tree[y].ls=merge(x,tree[y].ls);
        upd(y);
        return y;
    }
}
int x,y,z;
void ins(int val)
{
    split(rt,val,x,y);
    rt=merge(merge(x,newnode(val)),y);
}
void del(int val)
{
    split(rt,val-1,x,y);
    split(y,val,y,z);
    y=merge(tree[y].ls,tree[y].rs);
    rt=merge(merge(x,y),z);
}
int rnk(int val)
{
    split(rt,val-1,x,y);
    int ans=tree[x].siz+1;
    rt=merge(x,y);
    return ans;
}
int kth(int now,int k)
{
    while(tree[tree[now].ls].siz+1!=k)
    {
        if(tree[tree[now].ls].siz+1>k)
            now=tree[now].ls;
        else
        {
            k-=tree[tree[now].ls].siz+1;
            now=tree[now].rs;
        }
    }
    return tree[now].val;
}
int pre(int val)
{
    split(rt,val-1,x,y);
    int ans=kth(x,tree[x].siz);
    rt=merge(x,y);
    return ans;
}
int suf(int val)
{
    split(rt,val,x,y);
    int ans=kth(y,1);
    rt=merge(x,y);
    return ans;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int t;
    cin>>t;
    int opt,x;
    while(t--)
    {
        cin>>opt>>x;
        if(opt==1)
            ins(x);
        else if(opt==2)
            del(x);
        else if(opt==3)
            cout<<rnk(x)<<'\n';
        else if(opt==4)
            cout<<kth(rt,x)<<'\n';
        else if(opt==5)
            cout<<pre(x)<<'\n';
        else cout<<suf(x)<<'\n';
    }
    return 0;
    // you should actually read the stuff at the bottom
}
/* stuff you should look for
    * int overflow, array bounds
    * clear the arrays?
    * special cases (n=1?),
    * WRITE STUFF DOWN,
    * DON'T GET STUCK ON ONE APPROACH
*/

完结撒花 owo~