【BZOJ】1697: [Usaco2007 Feb]Cow Sorting牛排序（置换群）

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1697

置换群T_T_T_T_T_T_T

很久以前在黑书和白书都看过，，，但是看不懂。。。

然后找了本书，，pdf：《组合数学算法与分析1》。。。还算好，，看懂了。。

看来数学是硬伤。。

我需要一本《组合数学》！

。。。

好了。本题题解：

目标状态为排序后的，那么我们就建立置换群（原因是可以最小步数得到答案）

如果序列为1 6 5 7 4

那么循环为(1) (6 4 7) (5)

自己想。。。

那么每个循环要得到正确的序，就要移动len-1次，（len是循环节）

这里有个贪心，我们用哪个来移动其它的元素呢？当然是最小的，，，，

那么一个循环节内的和就是

sum-min+(len-1)*min 化简得到 sum+(len-2)*min

但是我们发现，还可以从别的循环节暂时掉一个进来参与循环，然后再掉回去！

很显然，循环节内和循环节外都要掉最小的

因为

费用为

sum-a+(a+smallest)*2+(len-1)*smallest （a为循环节内与smallest交换的元素）化简得

sum+a+(len+1)*smallest

那么显然这个a要取最小。。。

得证。。

然后将所有循环节的累计即可。。

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <cmath>

#include <string>

#include <iostream>

#include <algorithm>

#include <queue>

using namespace std;

#define rep(i, n) for(int i=0; i<(n); ++i)

#define for1(i,a,n) for(int i=(a);i<=(n);++i)

#define for2(i,a,n) for(int i=(a);i<(n);++i)

#define for3(i,a,n) for(int i=(a);i>=(n);--i)

#define for4(i,a,n) for(int i=(a);i>(n);--i)

#define CC(i,a) memset(i,a,sizeof(i))

#define read(a) a=getint()

#define print(a) printf("%d", a)

#define dbg(x) cout << #x << " = " << x << endl

#define printarr(a, n, m) rep(aaa, n) { rep(bbb, m) cout << a[aaa][bbb]; cout << endl; }

inline const int getint() { int r=0, k=1; char c=getchar(); for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar()) if(c=='-') k=-1; for(; c>='0'&&c<='9'; c=getchar()) r=r*10+c-'0'; return k*r; }

inline const int max(const int &a, const int &b) { return a>b?a:b; }

inline const int min(const int &a, const int &b) { return a<b?a:b; }

const int N=10005;

int n, a[N], b[N], vis[N], pos[N], ans;

const bool cmp(const int &x, const int &y) { return a[x]<a[y]; }

int main() {

	read(n);

	for1(i, 1, n) read(a[i]), b[i]=i;

	sort(b+1, b+1+n, cmp);

	int mn=a[b[1]];

	for1(i, 1, n) pos[b[i]]=i;

	for1(i, 1, n) if(!vis[i]) {

		int j=i, mini=~0u>>1, sum=0, len=0;

		while(!vis[j]) {

			++len;

			mini=min(mini, a[j]);

			sum+=a[j];

			vis[j]=1;

			j=pos[j];

		}

		ans+=sum+min((len-2)*mini, (len+1)*mn+mini);

	}

	print(ans);

	return 0;

}

Description

农夫JOHN准备把他的 N（1 <= N <= 10,000）头牛排队以便于行动。因为脾气大的牛有可能会捣乱，JOHN想把牛按脾气的大小排序。每一头牛的脾气都是一个在1到100，000之间的整数并且没有两头牛的脾气值相同。在排序过程中，JOHN 可以交换任意两头牛的位置。因为脾气大的牛不好移动，JOHN需要X+Y秒来交换脾气值为X和Y的两头牛。请帮JOHN计算把所有牛排好序的最短时间。

Input

第1行：一个数， N。

第2~N+1行：每行一个数，第i+1行是第i头牛的脾气值。

Output

第1行：一个数，把所有牛排好序的最短时间。

Sample Input

3
2
3
1

输入解释：

队列里有三头牛，脾气分别为 2，3， 1。

Sample Output

输出解释：
2 3 1 : 初始序列
2 1 3 : 交换脾气为3和1的牛(时间=1+3=4).
1 2 3 : 交换脾气为1和2的牛(时间=2+1=3).

HINT

Source

Gold