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猴子选大王

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有m个猴子围成一圈,按顺时针编号,分别为1到m。现打算从中选出一个大王。经过协商,决定选大王的规则如下:从第一个开始顺时针报数,报到n的猴子出圈,紧接着从下一个又从1顺时针循环报数,...,如此下去,最后剩下来的就是大王。

Input

第一行是一个正整数T表示测试数据的组数。下面共有T行,每行两个整数m和n,用一个空格隔开,分别表示猴子的个数和报数n。1≤m≤100,1≤n≤200。

Output

每组数据对应有一个输出,表示大王的编号。

Sample input and output

Sample Input Sample Output
1
3 2
3

题解:赤裸的约瑟夫环。利用递推关系,有f[1] = 0,f[i] = (f[i-1] + K) % i;一个递推就完成,时间复杂度为O(n)。

代码:

 #include <iostream>

 using namespace std;

 int main(){
int n,k,T;
cin>>T;
while(T--){
while(cin>>n>>k)
{
int ans = ;
for(int i=;i<=n;i++)
ans = (ans + k) % i;
cout<<ans+<<endl;
}
}
return ;
}

下面讲解下约瑟夫环的推导:

约瑟夫环是一个数学的应用问题:已知n个人(以编号1,2,3…n分别表示)围坐在一张圆桌周围;从编号为k的人开始报数,数到m的那个人出列;他的下一个人又从1开始报数,数到m的那个人又出列;依此规律重复下去,直到圆桌周围的人全部出列。

模拟算法很简单,这里说下数学递推算法。

先总结一下约瑟夫环的递推公式:

  1. f[1]=0; f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

  2. f[1]=1; f[i]=(f[i-1]+m)%i  (i>1);   if(f[i]==0) f[i]=i;

  3. P(1, m, k)=1 (i = 1);   P(i, m, k)=[P(i - 1, m, k ) + m - 1] % i + 1 (i > 1, 此处先减1是为了让模i的值不为0)

那么这三个公式有什么不同?

首先可以肯定的是这三个公式都正确。公式1,得到的是以0~n-1标注的最终序号;公式2,3得到的就是正常的1~n的序号;并且公式2和公式3其实是一个意思。

下面把公式1推导讲解一下。

公式1的推导:——————————

给出一个序列,从0~n-1编号。其中,k代表出列的序号的下一个,即k-1出列。

a 0, 1, …, k-1, k, k+1, …, n-1

那么,出列的序号是(m-1)%n,k=m%n。出列k-1后,序列变为

b 0, 1, …, k-2, k, k+1, …, n-1

然后,我们继续从n-1后延长这个序列,可以得到

c` 0, 1, …, k-2, k, k+1, …, n-1, n, n+1, …, n+k-2

我们取从k开始直到n+k-2这段序列。其实这段序列可以看作将序列b的0~k-2段移到了b序列的后面。这样,得到一个新的序列

c k, k+1, …, n-1, n, n+1, …, n+k-2

好了,整个序列c都减除一个k,得到

0, 1, …, n-2

c序列中的n-1, n, n+1都减除个k是什么?这个不需要关心,反正c序列是连续的,我们知道了头和尾,就能知道d序列是什么样的。

这样你看,从序列a到序列d,就是一个n序列到n-1序列的变化,约瑟夫环可以通过递推来获得最终结果。ok,继续向下。

剩下的就是根据n-1序列递推到n序列。假设在n-1序列中,也就是序列d中,我们知道了最终剩下的一个序号是x,那么如果知道了x转换到序列a中的编号x`,不就是知道了最终的结果了么?

下面我们就开始推导出序列a中x的序号是什么。

d->c,这个变换很容易,就是x+k;

c->b。从b->c,其实就是0~k-2这段序列转换为n~n+k-2这段序列,那么再翻转回去,简单的就是%n,即(x+k)%n。%n以后,k~n-1这段序列值不会发生变化,而n~n+k-2这段序列则变成了0~k-2;这两段序列合起来,就是序列b。

于是乎,我们就知道了,x`=(x+k)%n。并且,k=m%n,所以x`=(x+m%n)%n=(x+m)%n。公式1就出来了:f[i]=(f[i-1]+m)%i。当然,i=1就是特殊情况了,f[1]=0。这里还有一个小问题。也许你会迷惑为什么x`=(x+m%n)%n=(x+m)%n中的%n变成公式中f[i]=(f[i-1]+m)%i中的%i?其实这个稍微想想就能明了。我们%n就是为了从序列c转换到序列b——这是在n-1序列转换成n序列时%n;那么从n-2转换到n-1呢?不是要%(n-1)了吗?所以这个值是变量,不是常量。

好了,这个最后需要注意的就是从一开始,我们将n序列从0~n-1编号,所以依据公式1得出的序号是基于0开始的。

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