poj_3260 动态规划

题目大意

顾客拿着N种硬币（币值为value[i], 数量为c[i])去买价值为T的东西，商店老板也有同样N种币值的硬币，但是数量不限。顾客买东西可能需要用硬币找零来使得花出去的钱为T，求顾客给老板的硬币数为count1，老板找回给顾客的硬币数目为count2，求count1 + count2的最小值。

题目分析

先通过求和得到顾客的总钱数，若小于T，则说明无法进行交换，直接返回-1；否则，可以进行交换，那么顾客给老板的总钱数V1肯定>=T, 而老板找回给顾客的总钱数为 V1 - T. 
    用顾客手上的硬币去凑成V1的钱，为多重背包问题，通过转换为01背包来解决。这样可以求得 f1[V1] 表示用顾客手上的硬币凑成价值为V1的钱的硬币的最小数目；用老板手上的硬币去凑成V2的钱，为一个完全背包问题，利用完全背包来解决，得到f2[V2]表示用老板手上的硬币凑成价值为V2的钱的硬币的最小数目。 
    然后对V1进行遍历，找到V1-V2 = T，且f[V1]+f[V2]最小的f[V1]+f[V2]即可。 
    需要注意的是初始化

实现(c++)

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
//思路是 将要付的钱t 表示成 s1 - s2的形式，其中s1为顾客要给老板的钱数；s2为老板找回的钱数
//s1 >= t,否则无效
//两个dp数组f1, f2，其中 f1[i] 表示 顾客用身上的硬币凑成 i元所消耗的最少硬币数目
//f2[i] 表示老板要找i元所消耗的最少硬币数目
//由于顾客硬币数目有限制，为01背包； 老板硬币数目无限制，为完全背包

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAX_CENTS 20200
#define COIN_TYPE_NUM 102
#define INFINITE 1 << 28
int gCoinValue[MAX_CENTS]; //将多重背包转换为01背包之后的硬币的币值
int gCoinNum[MAX_CENTS];   //将多重背包转换为01背包之后每个硬币值代表的实际硬币个数

int f1[MAX_CENTS];
int f2[MAX_CENTS];

//多重背包转01背包，二进制优化
//将数字n分解为 集合S{1， 2， 4， 。。。2^(k-1), n - 2^k + 1}
//数字[1,n]内的任何数字都可以用集合S中的多个数字拼成
//其中k为满足 n - 2^k + 1 > 0的最大的k
void Expand(int v, int n, int& index){
	int k = 1;
	do{
		gCoinNum[index] = k;
		gCoinValue[index++] = k*v;
		k *= 2;

	} while (2*k < n);
	gCoinNum[index] = (n - k + 1);
	gCoinValue[index++] = (n - k + 1)*v;
}
int min(int a, int b){
	return a < b ? a : b;
}

int main(){
		int n, t, index = 0;
		int coin_value[COIN_TYPE_NUM];
		scanf("%d %d", &n, &t);
		for (int i = 0; i < n; i++){
			scanf("%d", coin_value + i);
		}
		int coin_num, sum_value = 0;
		for (int i = 0; i < n; i++){
			scanf("%d", &coin_num);
			sum_value += coin_num*(coin_value[i]);
			Expand(coin_value[i], coin_num, index);
		}
		if (sum_value < t){		//直接判断，总的钱数是否够物品价值，不够则直接返回失败
			printf("-1\n");
			return 0;
		}

		memset(f1, 0, sizeof(f1));
		memset(f2, 0, sizeof(f2));
		int m = t + MAX_CENTS / 2;  //范围，猜测的。。。

		//进行合理的初始化
		for (int i = 0; i <= m; i++){
			f1[i] = f2[i] = INFINITE;
		}

		f1[0] = 0;		//一个硬币都没有，能够构成总价值为0的最少 硬币数目为0
		f2[0] = 0;		

		f1[gCoinValue[0]] = 1;	//用前1个硬币进行初始化，即用前1种硬币凑成 coin_value[0] 价值的硬币的最少数目
		f2[coin_value[0]] = 1;

		for (int i = 1; i < index; i++){	//多重背包转换为01背包，利用前一个物品初始化之后，从前2个物品开始循环
			for (int w = m; w >= gCoinValue[i]; w--){
				f1[w] = min(f1[w], f1[w - gCoinValue[i]] + gCoinNum[i]);
			}
		}

		for (int i = 0; i < n; i++){		//完全背包，从前1个物品开始
			for (int w = coin_value[i]; w <= m - t; w++){
				f2[w] = min(f2[w], f2[w - coin_value[i]] + 1);
			}
		}
		int min_coin_num = INFINITE;
		for (int i = t; i <= m; i++){
			min_coin_num = min(min_coin_num, f1[i] + f2[i - t]);
		}
		if (min_coin_num == INFINITE)  //判断是否能够 拼成 t
			printf("-1\n");
		else
			printf("%d\n", min_coin_num);
	return 0;
}