卷积神经网络之AlexNet

由于受到计算机性能的影响，虽然LeNet在图像分类中取得了较好的成绩，但是并没有引起很多的关注。知道2012年，Alex等人提出的AlexNet网络在ImageNet大赛上以远超第二名的成绩夺冠，卷积神经网络乃至深度学习重新引起了广泛的关注。

AlexNet特点

AlexNet是在LeNet的基础上加深了网络的结构，学习更丰富更高维的图像特征。AlexNet的特点：

更深的网络结构
使用层叠的卷积层，即卷积层+卷积层+池化层来提取图像的特征
使用Dropout抑制过拟合
使用数据增强Data Augmentation抑制过拟合
使用Relu替换之前的sigmoid的作为激活函数
多GPU训练

ReLu作为激活函数

在最初的感知机模型中，输入和输出的关系如下：

\[y = \sum_i{w_ix_i} + b
\]

只是单纯的线性关系，这样的网络结构有很大的局限性：即使用很多这样结构的网络层叠加，其输出和输入仍然是线性关系，无法处理有非线性关系的输入输出。因此，对每个神经元的输出做个非线性的转换也就是，将上面就加权求和$\sum_i{w_ix_i} + b$的结果输入到一个非线性函数，也就是激活函数中。这样，由于激活函数的引入，多个网络层的叠加就不再是单纯的线性变换，而是具有更强的表现能力。

在最初，$sigmoid$和$tanh$函数最常用的激活函数。

$sigmoid$

在网络层数较少时，$sigmoid$函数的特性能够很好的满足激活函数的作用：它把一个实数压缩至0到1之间，当输入的数字非常大的时候，结果会接近1；当输入非常大的负数时，则会得到接近0的结果。这种特性，能够很好的模拟神经元在受刺激后，是否被激活向后传递信息（输出为0，几乎不被激活；输出为1，完全被激活）。

$sigmoid$一个很大的问题就是梯度饱和。观察$sigmoid$函数的曲线，当输入的数字较大（或较小）时，其函数值趋于不变，其导数变的非常的小。这样，在层数很多的的网络结构中，进行反向传播时，由于很多个很小的$sigmoid$导数累成，导致其结果趋于0，权值更新较慢。

ReLu

针对$sigmoid$梯度饱和导致训练收敛慢的问题，在AlexNet中引入了ReLU。ReLU是一个分段线性函数，小于等于0则输出为0；大于0的则恒等输出。相比于$sigmoid$，ReLU有以下有点：
- 计算开销下。$sigmoid$的正向传播有指数运算，倒数运算，而ReLu是线性输出；反向传播中，$sigmoid$有指数运算，而ReLU有输出的部分，导数始终为1.
- 梯度饱和问题
- 稀疏性。Relu会使一部分神经元的输出为0，这样就造成了网络的稀疏性，并且减少了参数的相互依存关系，缓解了过拟合问题的发生。

这里有个问题，前面提到，激活函数要用非线性的，是为了使网络结构有更强的表达的能力。那这里使用ReLU本质上却是个线性的分段函数，是怎么进行非线性变换的。

这里把神经网络看着一个巨大的变换矩阵$M$，其输入为所有训练样本组成的矩阵$A$，输出为矩阵$B$。

\[B = M \cdot A
\]

这里的$M$是一个线性变换的话，则所有的训练样本$A$进行了线性变换输出为$B$。

那么对于ReLU来说，由于其是分段的，0的部分可以看着神经元没有激活，不同的神经元激活或者不激活，其神经玩过组成的变换矩阵是不一样的。

设有两个训练样本 $a_1,a_2$，其训练时神经网络组成的变换矩阵为$M_1,M_2$。由于$M_1$变换对应的神经网络中激活神经元和$M_2$是不一样的，这样$M_1,M_2$实际上是两个不同的线性变换。也就是说，每个训练样本使用的线性变换矩阵$M_i$是不一样的，在整个训练样本空间来说，其经历的是非线性变换。

简单来说，不同训练样本中的同样的特征，在经过神经网络学习时，流经的神经元是不一样的（激活函数值为0的神经元不会被激活）。这样，最终的输出实际上是输入样本的非线性变换。

单个训练样本是线性变换，但是每个训练样本的线性变换是不一样的，这样整个训练样本集来说，就是非线性的变换。

数据增强

神经网络由于训练的参数多，表能能力强，所以需要比较多的数据量，不然很容易过拟合。当训练数据有限时，可以通过一些变换从已有的训练数据集中生成一些新的数据，以快速地扩充训练数据。对于图像数据集来说，可以对图像进行一些形变操作：

翻转
随机裁剪
平移，颜色光照的变换
...

AlexNet中对数据做了以下操作：

随机裁剪，对$256\times256$的图片进行随机裁剪到$227 \times 227$，然后进行水平翻转。
测试的时候，对左上、右上、左下、右下、中间分别做了5次裁剪，然后翻转，共10个裁剪，之后对结果求平均。
对RGB空间做PCA（主成分分析），然后对主成分做一个（0, 0.1）的高斯扰动，也就是对颜色、光照作变换，结果使错误率又下降了1%。

层叠池化

在LeNet中池化是不重叠的，即池化的窗口的大小和步长是相等的，如下

在AlexNet中使用的池化（Pooling）却是可重叠的，也就是说，在池化的时候，每次移动的步长小于池化的窗口长度。AlexNet池化的大小为3×3的正方形，每次池化移动步长为2，这样就会出现重叠。重叠池化可以避免过拟合，这个策略贡献了0.3%的Top-5错误率。与非重叠方案$s = 2，z = 2$相比，输出的维度是相等的，并且能在一定程度上抑制过拟合。

局部相应归一化

ReLU具有让人满意的特性，它不需要通过输入归一化来防止饱和。如果至少一些训练样本对ReLU产生了正输入，那么那个神经元上将发生学习。然而，我们仍然发现接下来的局部响应归一化有助于泛化。$a_{x,y}^i$表示神经元激活，通过在$(x, y)$位置应用核$i$，然后应用ReLU非线性来计算，响应归一化激活$b^i_{x,y}$通过下式给定：

\[b^i_{x,y} = a_{x,y}^i / \big( k + \alpha \sum _{j = max(0, i-n / 2)} ^{min(N-1, i+n / 2)} (a_{x,y}^j)^2 \big)^\beta
\]

其中，$N$是卷积核的个数，也就是生成的FeatureMap的个数；$k,\alpha,\beta,n$是超参数，论文中使用的值是$k = 2 , n =5 ,\alpha = 10^{-4},\beta = 0.75$

输出$b^i_{x,y}$和输入$a_{x,y}^j$的上标表示的是当前值所在的通道，也即是叠加的方向是沿着通道进行。将要归一化的值$a_{x,y}^i$所在附近通道相同位置的值的平方累加起来$\sum _{j = max(0, i-n / 2)} ^{min(N-1, i+n / 2)} (a_{x,y}^j)^2$

Dropout

这个是比较常用的抑制过拟合的方法了。

引入Dropout主要是为了防止过拟合。在神经网络中Dropout通过修改神经网络本身结构来实现，对于某一层的神经元，通过定义的概率将神经元置为0，这个神经元就不参与前向和后向传播，就如同在网络中被删除了一样，同时保持输入层与输出层神经元的个数不变，然后按照神经网络的学习方法进行参数更新。在下一次迭代中，又重新随机删除一些神经元（置为0），直至训练结束。

Dropout应该算是AlexNet中一个很大的创新，现在神经网络中的必备结构之一。Dropout也可以看成是一种模型组合，每次生成的网络结构都不一样，通过组合多个模型的方式能够有效地减少过拟合，Dropout只需要两倍的训练时间即可实现模型组合（类似取平均）的效果，非常高效。

如下图：

Alex网络结构

上图中的输入是$224\times224$，不过经过计算$(224 - 11) / 4 = 54.75$并不是论文中的$55 \times 55$，而使用$227 \times 227$作为输入，则$(227 - 11) / 4 = 55$

网络包含8个带权重的层；前5层是卷积层，剩下的3层是全连接层。最后一层全连接层的输出是1000维softmax的输入，softmax会产生1000类标签的分布网络包含8个带权重的层；前5层是卷积层，剩下的3层是全连接层。最后一层全连接层的输出是1000维softmax的输入，softmax会产生1000类标签的分布。

卷积层C1

该层的处理流程是：卷积-->ReLU-->池化-->归一化。
- 卷积，输入是$227\times227$，使用96个$11 \times 11 \times 3$的卷积核，得到的FeatureMap为$55 \times 55 \times 96$。
- ReLU，将卷积层输出的FeatureMap输入到ReLU函数中。
- 池化，使用$3 \times 3$步长为2的池化单元（重叠池化，步长小于池化单元的宽度），输出为$27 \times 27 \times 96$（$(55 - 3) / 2 + 1 = 27$)
- 局部响应归一化，使用$k = 2 , n =5 ,\alpha = 10^{-4},\beta = 0.75$进行局部归一化，输出的仍然为$27 \times 27 \times 96$，输出分为两组，每组的大小为$27 \times 27 \times 48$
卷积层C2

该层的处理流程是：卷积-->ReLU-->池化-->归一化
- 卷积，输入是2组$27 \times 27 \times 48$。使用2组，每组128个尺寸为$5 \times 5 \times 48$的卷积核，并作了边缘填充padding=2，卷积的步长为1. 则输出的FeatureMap为2组，每组的大小为$27 \times 27 \ times 128$. （$(27 + 2 * 2 - 5) / 1 + 1 = 27$）
- ReLU，将卷积层输出的FeatureMap输入到ReLU函数中
- 池化运算的尺寸为$3\times3$，步长为2，池化后图像的尺寸为$(27-3)/2+1=13$，输出为$13 \times 13 \times 256$
- 局部响应归一化，使用$k = 2 , n =5 ,\alpha = 10^{-4},\beta = 0.75$进行局部归一化，输出的仍然为$13 \times 13 \times 256$，输出分为2组，每组的大小为$13 \times 13 \times 128$
卷积层C3

该层的处理流程是：卷积-->ReLU
- 卷积，输入是$13 \times 13 \times 256$，使用2组共384尺寸为$3 \times 3 \times 256$的卷积核，做了边缘填充padding=1，卷积的步长为1.则输出的FeatureMap为$13 \times 13 \ times 384$
- ReLU，将卷积层输出的FeatureMap输入到ReLU函数中
卷积层C4

该层的处理流程是：卷积-->ReLU

该层和C3类似。
- 卷积，输入是$13 \times 13 \times 384$，分为两组，每组为$13 \times 13 \times192$.使用2组，每组192个尺寸为$3 \times 3 \times 192$的卷积核，做了边缘填充padding=1，卷积的步长为1.则输出的FeatureMap为$13 \times 13 \ times 384$，分为两组，每组为$13 \times 13 \times192$
- ReLU，将卷积层输出的FeatureMap输入到ReLU函数中
卷积层C5

该层处理流程为：卷积-->ReLU-->池化
- 卷积，输入为$13 \times 13 \times 384$，分为两组，每组为$13 \times 13 \times192$。使用2组，每组为128尺寸为$3 \times 3 \times 192$的卷积核，做了边缘填充padding=1，卷积的步长为1.则输出的FeatureMap为$13 \times 13 \times 256$
- ReLU，将卷积层输出的FeatureMap输入到ReLU函数中
- 池化，池化运算的尺寸为3×3，步长为2，池化后图像的尺寸为 $(13-3)/2+1=6$,即池化后的输出为$6 \times 6 \times 256$
全连接层FC6

该层的流程为：（卷积）全连接 -->ReLU -->Dropout
- 卷积->全连接：输入为$6 \times 6 \times 256$,该层有4096个卷积核，每个卷积核的大小为$6 \times 6 \times 256$。由于卷积核的尺寸刚好与待处理特征图（输入）的尺寸相同，即卷积核中的每个系数只与特征图（输入）尺寸的一个像素值相乘，一一对应，因此，该层被称为全连接层。由于卷积核与特征图的尺寸相同，卷积运算后只有一个值，因此，卷积后的像素层尺寸为$4096\times1\times1$，即有4096个神经元。
- ReLU,这4096个运算结果通过ReLU激活函数生成4096个值
- Dropout,抑制过拟合，随机的断开某些神经元的连接或者是不激活某些神经元
全连接层FC7

流程为：全连接-->ReLU-->Dropout
- 全连接，输入为4096的向量
- ReLU,这4096个运算结果通过ReLU激活函数生成4096个值
- Dropout,抑制过拟合，随机的断开某些神经元的连接或者是不激活某些神经元
输出层

第七层输出的4096个数据与第八层的1000个神经元进行全连接，经过训练后输出1000个float型的值，这就是预测结果。

AlexNet参数数量

卷积层的参数 = 卷积核的数量 * 卷积核 + 偏置

C1: 96个$11 \times 11 \times 3$的卷积核，$96 \times 11 \times 11 \times 3 + 96=34848 $
C2: 2组，每组128个$5 \times 5 \times 48$的卷积核，$(128 \times 5 \times 5 \times 48 + 128)\times 2 = 307456$
C3: 384个$3 \times 3 \times 256$的卷积核，$3 \times 3 \times 256 \times 384 + 384 = 885120$
C4: 2组，每组192个$3 \times 3 \times 192$的卷积核，$(3 \times 3 \times 192 \times 192 + 192)\times 2= 663936$
C5: 2组，每组128个$3 \times 3 \times 192$的卷积核，$(3 \times 3 \times 192 \times 128 + 128) \times 2 = 442624$
FC6: 4096个$6 \times 6 \times 256$的卷积核，$6 \times 6 \times 256 \times 4096 + 4096 = 37752832$
FC7: $4096 * 4096 + 4096 = 16781312$
output: $4096 * 1000 = 4096000$

卷积层 C2,C4,C5中的卷积核只和位于同一GPU的上一层的FeatureMap相连。从上面可以看出，参数大多数集中在全连接层，在卷积层由于权值共享，权值参数较少。

Keras实现

由于AlexNet是使用两块显卡进行训练的，其网络结构的实际是分组进行的。并且，在C2,C4,C5上其卷积核只和上一层的同一个GPU上的卷积核相连。对于单显卡来说，并不适用，本文基于Keras的实现，忽略其关于双显卡的的结构，并且将局部归一化操作换成了BN。其网络结构如下：

Keras代码

class AlexNet:

    @staticmethod

    def build(width,height,depth,classes,reg=0.0002):

        model = Sequential()

        inputShape = (height,width,depth)

        chanDim = -1

        if K.image_data_format() == "channels_first":

            inputShape = (depth,height,width)

            chanDim = 1

        model.add(Conv2D(96,(11,11),strides=(4,4),input_shape=inputShape,padding="same",kernel_regularizer=l2(reg)))

        model.add(Activation("relu"))

        model.add(BatchNormalization(axis=chanDim))

        model.add(MaxPooling2D(pool_size=(3,3),strides=(2,2)))

        model.add(Dropout(0.25))

        model.add(Conv2D(256,(5,5),padding="same",kernel_regularizer=l2(reg)))

        model.add(Activation("relu"))

        model.add(BatchNormalization(axis=chanDim))

        model.add(MaxPooling2D(pool_size=(3,3),strides=(2,2)))

        model.add(Dropout(0.25))

        model.add(Conv2D(384,(3,3),padding="same",kernel_regularizer=l2(reg)))

        model.add(Activation("relu"))

        model.add(BatchNormalization(axis=chanDim))

        model.add(Conv2D(384,(3,3),padding="same",kernel_regularizer=l2(reg)))

        model.add(Activation("relu"))

        model.add(BatchNormalization(axis=chanDim))

        model.add(Conv2D(256,(3,3),padding="same",kernel_regularizer=l2(reg)))

        model.add(MaxPooling2D(pool_size=(3,3),strides=(2,2)))

        model.add(Dropout(0.25))

        model.add(Flatten())

        model.add(Dense(4096,kernel_regularizer=l2(reg)))

        model.add(Activation("relu"))

        model.add(BatchNormalization())

        model.add(Dropout(0.25))

        model.add(Dense(4096,kernel_regularizer=l2(reg)))

        model.add(Activation("relu"))

        model.add(BatchNormalization())

        model.add(Dropout(0.25))

        model.add(Dense(classes,kernel_regularizer=l2(reg)))

        model.add(Activation("softmax"))

        return model

更多测测试代码，可以从我的github上找到。