[JZOJ5977] 【清华2019冬令营模拟12.15】堆

题目

其中n,q≤500000n,q\leq 500000n,q≤500000

题目大意

让你维护一个堆。支持一下操作：

在某个点的下面加上另一个点，然后进行上浮操作。

询问某一点的权值。

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思考历程

一眼看这题，诶，不就是那道中学生数据结构题吗？

直接树链剖分，然后splay一波搞定！

思想还是很简单的！

但是感觉有点长……

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正解

上面的这个解法算是一个正解吧。

但是我还是没打，因为代码可能很长……（想一想，又树链剖分，又splay的有点麻烦）

然后这题LCT也可以做！就是LCT和一个splay！由于LCT本来就是用splay来实现的，所以，在打板的时候还比较容易，只不过……

先不要说。现在说一说解法。

我们知道，上浮操作其实就是轮换操作。但是，如果我们直接在LCT中轮换，那么我们会将点的位置改变，不只是权值的改变！

所以说，我们要再用一个splay来维护一下链上点的权值。对于LCT上的每一条链（也就是LCT中的每一个splay），另外维护一个以权值为关键字的splay。这两个splay其中的顺序是一一对应的。当我们要轮换的时候，只需要轮换那个splay中的值。在查询的时候查与其对应位置的值就好了。

不过再想想，代码还是有点复杂的，虽然比较简单。我们再进行LCT操作的时候，我们还要维护一下那些splay，所以要加一些东西！当然，在宏观的意义上，这个还是比较好理解的。

然后还有一个比较简单的做法：离线，树链剖分和权值线段树！

这个似乎比较好打很多……在这里理清一下思路。

我们先将整棵树建出来（当然，是树的最后形态），然后树链剖分剖成许多条重链！

对于每一条重链，我们分别维护一个权值线段树。

在我们进行操作的时候，如果是询问，那就直接通过它在重链中的位置，在权值线段树中把它给找出来。

如果是插入一个点，那就将其加入权值线段树中（之前是无限大），然后和重链顶端的父亲上面的值对比一下，如果比它小，那就进行替换，然后继续往上跳。

其实不一定要使用权值线段树，平衡树也是一个不错的选择……

总感觉这题的正解有好多……

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代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 1000000
#define Q 500000
#define MAX 1000001
int n,nn,q;
struct EDGE{
	int to;
	EDGE *las;
} e[N+1];
int ne;
EDGE *last[N+1];
inline void link(int u,int v){
	e[++ne]={v,last[u]};
	last[u]=e+ne;
}
int a[N+1];
struct Oper{
	bool op;
	int x;
} o[Q+1];
int fa[N+1],siz[N+1],dep[N+1],hs[N+1];
void init1(int);
int top[N+1];
void init2(int,int);
struct Segment_Tree{
	int l,r;
	int sum;
} seg[20000001];
int cnt;
void add(int,int,int,int,int);
int kth(int,int,int,int);
int tos[N+1];//tos[i]表示i所在的重链对应的线段树根节点的编号
inline void insert(int);
int main(){
	freopen("heap.in","r",stdin);
	freopen("heap.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&q);
	for (int i=1;i<=n;++i){
		scanf("%d%d",&fa[i],&a[i]);
		if (fa[i])
			link(fa[i],i);
	}
	nn=n;
	for (int i=1;i<=q;++i){
		int op;
		scanf("%d",&op);
		if (op==1){
			++nn;
			scanf("%d%d",&fa[nn],&a[nn]);
			link(fa[nn],nn);
			o[i]={0,nn};
		}
		else{
			int x;
			scanf("%d",&x);
			o[i]={1,x};
		}
	}
	init1(1);
	init2(1,1);
	for (int i=1;i<=nn;++i)
		if (top[i]==i){
			tos[i]=++cnt;
			seg[cnt]={0,0,0};
		}
	for (int i=1;i<=nn;++i)
		tos[i]=tos[top[i]];
	for (int i=1;i<=n;++i)
		add(tos[i],1,MAX,a[i],1);
	for (int i=1;i<=q;++i)
		if (o[i].op==0)
			insert(o[i].x);
		else
			printf("%d\n",kth(tos[o[i].x],1,MAX,dep[o[i].x]-dep[top[o[i].x]]+1));
	return 0;
}
void init1(int x){
	dep[x]=dep[fa[x]]+1;
	siz[x]=1;
	for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las){
		init1(ei->to);
		siz[x]+=siz[ei->to];
		if (siz[ei->to]>siz[hs[x]])
			hs[x]=ei->to;
	}
}
void init2(int x,int t){
	top[x]=t;
	if (hs[x])
		init2(hs[x],t);
	for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las)
		if (ei->to!=hs[x])
			init2(ei->to,ei->to);
}
void add(int k,int l,int r,int x,int c){
	seg[k].sum+=c;
	if (l==r)
		return;
	int mid=l+r>>1;
	if (x<=mid){
		if (!seg[k].l)
			seg[k].l=++cnt;
		add(seg[k].l,l,mid,x,c);
	}
	else{
		if (!seg[k].r)
			seg[k].r=++cnt;
		add(seg[k].r,mid+1,r,x,c);
	}
}
int kth(int k,int l,int r,int x){
	if (l==r)
		return l;
	int mid=l+r>>1;
	if (x<=seg[seg[k].l].sum)
		return kth(seg[k].l,l,mid,x);
	return kth(seg[k].r,mid+1,r,x-seg[seg[k].l].sum);
}
inline void insert(int x){
	add(tos[x],1,MAX,a[x],1);
	int v=a[x];
	while (fa[top[x]]){
		int y=fa[top[x]],mn=kth(tos[y],1,MAX,dep[y]-dep[top[y]]+1);//找出重链的父亲的值
		if (v<mn){
			//交换
			add(tos[x],1,MAX,v,-1);
			add(tos[x],1,MAX,mn,1);
			add(tos[y],1,MAX,mn,-1);
			add(tos[y],1,MAX,v,1);
			x=y;
		}
		else
			break;
	}
}

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总结

树链剖分真是一个好东西……

LCT真是一个好东西……

……