【BZOJ4916】神犇与蒟蒻

题面

Description

很久很久以前，有一只神犇叫yzy;

很久很久之后，有一只蒟蒻叫lty;

Input

请你读入一个整数N;\(1<=N<=10^9\),A、B模\(10^9+7​\);

Output

请你输出一个整数\(A=\sum_{i=1}^N{\mu (i^2)}\);

请你输出一个整数\(B=\sum_{i=1}^N{\varphi (i^2)}\);

Sample Input

1

Sample Output

1

1\

题目分析

第一问：

根据定义，答案永远等于\(1\)。

---

第二问：

首先，显然有\(\varphi(i^2)=i\cdot\varphi(i)\)。

根据杜教筛的套路式：

\[g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n(g*f)(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\frac ni)
\]

通过(我也不知道怎么出来的)分析可得，令\(g(x)=x\)：

\[\begin{split}
(f*g)(i)&=\sum_{d|i}\varphi(d)\cdot d\cdot \frac{i}{d}\\
&=\sum_{d|i}\varphi(d)\cdot i\\
&=i\sum_{d|i}\varphi(d)\\
&=i^2
\end{split}
\]

如此一来：

\[\sum_{i=1}^n(g*f)(i)=1^2+2^2+...+n^2=\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2\cdot n+1)}6
\]

代回套路式可得：

\[S(n)=\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2\cdot n+1)}6-\sum_{i=2}^ni\cdot S(\frac ni)
\]

现在，这个式子就可以用杜教筛解决了。

代码实现

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#include<map>
#define MAXN 0x7fffffff
typedef long long LL;
const int N=3e6+5,M=N-5;
const int mod=1e9+7,inv6=166666668;
using namespace std;
inline int Getint(){register int x=0,f=1;register char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int prime[N],phi[N];
bool vis[N];
map<int,int>sphi;
int Sphi(int x){
	if(x<=M)return phi[x];
	if(sphi[x])return sphi[x];
	int ret=1ll*x*(x+1)%mod*(2*x+1)%mod*inv6%mod;
	for(int l=2,r=0;r!=x;l=r+1){
		r=x/(x/l);
		ret=(ret-1ll*(l+r)*(r-l+1)/2%mod*Sphi(x/l)%mod)%mod;
	}
	return sphi[x]=(ret+mod)%mod;
}
int main(){
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=M;i++){
		if(!vis[i])prime[++prime[0]]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=prime[0]&&1ll*i*prime[j]<=M;j++){
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0){
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}
			phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
		}
	}
	for(int i=1;i<=M;i++)phi[i]=(1ll*phi[i]*i+phi[i-1])%mod;
	int n=Getint();
	cout<<1<<'\n'<<Sphi(n);
	return 0;
}