XDTIC2019招新笔试题 + 官方解答

腾讯创新俱乐部2019年招新笔试试题

[1] 小宗学长正在努力学习数论，他写下了一个奇怪的算式：

\[2019^{2018^{2017^{\dots^{2^1}}}}
\]

算式的结果一定很大，所以他只让你求出这个数的后三位，聪明的你能帮帮小宗学长吗？

提示： $(20)19^5$ 结果后三位为 $099$

[2] 腾讯的吉祥物想给自己造一套海景别墅，可他自己太懒了，于是抓了一批壮丁来造房子，他要求那些壮丁必须七天造好房子，否则就封他们 $QQ$ 号，不过可爱的吉祥物很讲道理，他决定拿金条当报酬。吉祥物寻思着每天给工人们发 $\frac17$ 的金条这个想法不错，可我们得原谅吉祥物实在是太懒了，只想给金条切两刀，请问吉祥物该怎么切金条才好呢？

[3] $dyx$学长带着2颗鸡蛋爬上了一栋100层的大楼，现在已知一个鸡蛋从第 $k$ 层及以上的楼层落下来会摔破，在第 $k$ 层以下的楼层落下则不会摔破。他想知道在最坏情况下，最少扔多少次鸡蛋才能确定 $k$ 的大小。

[4] 一群吉祥物表演杂技走钢丝，钢丝长50米，从东向西看，吉祥物们分别分布在钢丝的$4$米、$17$米、$19$米、$28$米、$44$米处。表演开始时，吉祥物们同时以 $1m/s$ 的速度向左或向右走，两只吉祥物相遇时，则同时掉头往反方向走，走到钢丝尽头则被热气球接走。考虑所有情况，最晚被接走的吉祥物在钢丝上停留的最长时间可能是多少？对于一般情况，给定 $n$ 只吉祥物的初始位置坐标 $x_1, x_2, x_3, \dots, x_n$ ，吉祥物被接走的最早和最晚时刻分别在什么时候？

[5] 某高校举办三行情书大赛，数学系一男生浪漫的写道：

高斯拿走了我的尺规 / 我只好 / 徒手为你画眉

现在假设你高冷的数学女神给你一个圆规，并在纸上画了两个点 $A$ 和 $B$ ，你能想办法只用圆规作出线段 $AB$ 的中点 $C$ ，博她开心一笑吗？

提示：先作出点 $D$ ，满足 $\vec{AD} = 2\vec{AB}$

[6] 俱乐部主席箱箱学长最近很想玩游戏，于是他决定和你一起玩，游戏是这样的：他带来了一堆糖果，两个人轮流从其中拿走一定数量的糖果，拿走最后所有糖果的人为赢家，不过得遵循如下规则：

第一次取不能取完，至少取$1$颗
从第二次开始，每个人取的糖果数至少为$1$，至多为对手刚取的糖果数的两倍

现在让你开始先拿糖果，如果你赢了就能获得全部糖果，输了的话箱箱会收回他的全部糖果。

如果桌上摆着 $13$ 颗糖果，你会来尝试挑战吗？如果糖果数量为任意正整数 $n$，你能想出赢得全部糖果的必胜方案吗？

[7] 好奇的周队发现了一个神奇的$22$位数，它的个位数是$7$。当她用$7$去乘这个$22$位数时，发现它的积仍然是个$22$位数，只是个位数的$7$移到了第一位，其余$21$个数字的排列顺序还是原来的样子。请问这个神奇的$22$位数是多少？

提示：这道题如果用字母来代表数字，列成算式是：

$ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTU7×7=7ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTU$

[8] TIC里有位大佬，每次在群里出现时所有人都会惊呼：“zk大佬来水群了！！！”，但是wzk是一个非常低调的大佬，他不希望群里一堆菜鸡吹捧自己。于是他以大佬的身份宣布凡是在群里讨论wzk的人（每次提到wzk必是一句完整的“wzk!wzk!wzkNB!”）都会被他用小本本记住。那么问题来了，wzk又是怎么快速察觉到有人讨论他呢？(此题假设TIC群里所有的话都是由字母和符号构成)

请写出用计算机快速判断是否讨论了wzk的方法。

例如：判断wzkwzk!!wzawzk!wzk!NBwzk!! 和 wzk!wzk!wzk!wzkNB两句话中是否谈及wzk（计算机判断字母或者符号是否相同只能一个一个对比）

腾讯创新俱乐部2019年招新笔试答案

问题1

\[099^{10} = (100-1)^{10} \equiv 1 \text{ mod } 1000\\
2019^{50} \equiv 1 \text{ mod } 1000
\]

现在问题转化为求 $2018^{2017^{\dots^{2^1}}}$ 对 50 取余的结果

笔算过程：

19的幂的后三位数周期是50，2018的幂模50周期是4。

2017模4等于1，从1到2016那些数都没用。

19的18次方模1000等于841，这就是答案。

代码实现：

欧拉定理降幂公式当$B \ge \varphi (C)$ 时， $A^B \% C = A^{(B\% \varphi(C)) + \varphi(C)} \% C$

递归计算得到结果

typedef long long ll;

const int maxn = 3000;

int pri[maxn], tot;

bool vis[maxn];

int phi[maxn];

// 欧拉线性筛

void getPhi(int n) {

	vis[1] = 1;

    phi[1] = 1;

    for(int i=2;i<=n;i++) {

        if(!vis[i]) {

            pri[++tot] = i;

            phi[i] = i-1;

        }

        for(int j=1;j<=tot && i*pri[j]<=n;j++) {

            vis[i*pri[j]] = 1;

            if(i%pri[j]==0) {

                phi[i*pri[j]] = pri[j] * phi[i];

                break;

            } else {

                phi[i*pri[j]] = phi[pri[j]] * phi[i];

            }

        }

    }

}

// 快速幂求 a^n % p

ll powmod(ll a, ll n, ll p) {

    ll res = 1;

    while(n) {

        if(n&1) res = res * a % p;

        a = a * a % p;

        n >>= 1;

    }

    return res;

}

ll f(ll a, ll p) {

    if(p==1) return 0;

    if(a==1) return 1;

    ll exp = f(a-1, phi[p]) + phi[p];

    return powmod(a, exp, p);

}

// getPhi(2019)

// f(2019, 1000) ==> 841

问题2

分为 $1\over7$，$2\over7$ 和 $4\over7$ 三部分。

问题3

方法一：

找规律

设 $f[n]$ 表示 $n$ 层楼，最少扔鸡蛋次数。

$f[1] = 1$

$f[2] = 2, f[3] = 2$

$ f[4] = 3, f[5] = 3, f[6] = 3$

$ f[7] = 4,f[8] = 4 ,f[9] = 4 ,f[10] = 4$

$\dots$

于是 $f[100] = 14$

方法二：

设 $f[n][k]$ 表示 $n$ 层楼，$k$ 个鸡蛋情况下找到答案的最少扔鸡蛋次数。

显然，只有一个鸡蛋时，必须从低层往高层逐层试验，有

\[f[n][1] = n
\]

有两个鸡蛋时，第一次先从某一层 $i$ 扔下，如果碎了，就只剩一个鸡蛋，此时答案为 $1 + f[i-1][1]$；

没有碎的话，问题相当于求解 $f[n-i][2]$ 。最坏情况下，我们要取两者的最大值为试验次数。

最优解为 $i$ 取 1~100 所有尝试的最小值。

所以

\[f[n][2] = min(f[n][2], 1+max(f[i-1][1], f[n-i][2]))
\]

即

\[f[n][2] = min(f[n][2], 1+max(i-1, f[n-i][2]))
\]

$f[0][2] = 0$ ， $f[1][2] = 1$ , $f[2][2] = 1$ ，… ，递推得到$f[100][2]$ 。

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;

const int inf = 1000000;

int dp[110][5];

int f(int n, int k) {

	if(n==0) return 0;

	if(k==1) return n;

	if(n==1) return 1;

	if(dp[n][k]!=-1) return dp[n][k];

	int ans = inf;

	for(int i=1;i<=n;i++) {

		ans = min(ans, 1 + max(f(i-1, k-1), f(n-i, k)));

	}

	return dp[n][k] = ans;

}

int main() {

   	memset(dp, -1, sizeof(dp));

   	cout<<f(100, 2)<<endl;

    return 0;

}

问题4

两只吉祥物相遇时同时掉头可视为它们穿过对方继续前进，故离另一端最远的吉祥物在钢丝上停留的时间最长。即，例如当位于4米处的吉祥物一开始向西走，其它吉祥物一开始向东走时，在钢丝上停留最久的吉祥物时间可能是（50-4）/ 1 = 46s。

找出最小的 $x_i$ 和最大的 $x_j$ ，ans1 = min( $x_i$ , 50 - $x_j$ )，ans2 = max( 50 - $x_i$ , $x_j$ )

问题5

以 D 为圆心，AD 为半径画圆，与圆 A 交 E, F ；

以 E 为圆心， EA 为半径画圆，以F为圆心，FA 为半径画圆，交点 C 即为所求。

证明：

$\triangle ACE$ 相似于$ \triangle AED$ $\Rightarrow$ $AC \cdot AD = AE\cdot AE$ $\Rightarrow$ $AC = {1\over 2} AB = {1\over 2} AE$

问题6

斐波那契博弈，当糖果数量为斐波那契数时，先手必败。

\[\begin{align}
& Fib[0] = 0, Fib[1] = 1\\
& Fib[n] = Fib[n-1] + Fib[n-2], n>=2
\end{align}
\]

证明略。

问题7

由低位往高位计算。

答案：1014492753623188405797 * 7 = 7101449275362318840579

ans = '7'	# 结果

add = 0		# 进位

now = 7		# 当前位

for i in range(1, 22) :

	now = now*7 + add

	add = now // 10

	now = now % 10

	ans = str(now) + ans

res = ('7'+ans)[0:22]

if int(ans)*7 == int(res) :

	print('%s * 7 = %s' % (ans, res))

面试得到的新方法：

\[(10*x + 7)*7 = 7*10^{21}+x
\]

解得

\[x = \frac{7*10^{21}-49}{69} = 101449275362318840579
\]

所以

\[ans = 10*x + 7 = 1014492753623188405797
\]

问题8

字符串匹配，KMP算法 / 字符串哈希

(END)