傅立叶变换—DFT

背景：最近看到实验室其他同学在用傅立叶变换解决问题，我也想通过并行来解决这个问题，所以看了一下傅立叶变换的东西，感觉涵盖的东西还能多，我只是初步做了一下了解（一定很片面，但是我主要是为了应用它，主要了解它的实现原理），据我理解：傅立叶分析使用一系列sin函数和cos函数表示一个连续函数。傅立叶变化就是一个将时间域的函数序列f(k)映射到频率域上的函数序列F(j)。序列f(k)表示一组信号采样的时间函数，序列F(j)表示傅立叶系数的分布，这个分布是关于频率的函数。

傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

离散傅立叶变换（DFT）是一个矩阵-向量的乘积F_Nx,其中f_ij=w_n^ij,(i,j从0到n)，w_n是单位元的第n个本原根。

复数知识回顾：

（1）单位1的n次复根是复数w,即w_n=1;

（2）单位1的n次复根共有n个，即e^2∏*i*k/n,其中k=1,2,...,n。

（3）用w_n来表示复数e^2∏*i/n，它是单位1的主n次方根。

（4）消去原理：对于任意整数n>=0,k>=0和d>0,有w_dn^dk=w_n^k。

（5）对于任意偶数n>0,有w_n^n/2 = w₂= -1

（6）等分引理：如果n为正偶数，单位1的n个n次方根的平方与它的（n/2）个n/2次方根是相同的。

DFT代码：

 #include "stdio.h"
 #include "math.h"

 typedef struct DFT
 {
   float real;  //实部
   float img;  //inscribrer
 }DFT;

 #define PI 3.1415926
 #define LENGTH  4
 int main()
 {
   DFT W[LENGTH][LENGTH],w[LENGTH+];
   float var =   /(float)LENGTH;

   w[].real = ;
   w[].img = ;
   w[].real = cos(var * PI);
   w[].img = sin(var * PI);

   int i,j;
   
    //初始化w0到wn-1的值
   for(i=;i<=LENGTH;i++)
   {
     w[i].real = cos(var*i*PI);
     w[i].img = sin(var*i*PI);
   }

   for(i=;i<LENGTH;i++)
   {
     for(j=;j<LENGTH;j++)
     {
       int m = i * j;
       if((i*j)<=LENGTH)
       {
     W[i][j].real = w[m].real;
     W[i][j].img = w[m].img;
       }
       else
       {
     int n = m % LENGTH;  //w具有周期性
     W[i][j].real = w[n].real;
     W[i][j].img = w[n].img;
       }
     }
   }
 /*
   for(i=0;i<WIDTH;i++)
   {
     for(j=0;j<WIDTH;j++)
     {
       printf("%f\t",W[i][j].real);
     }
     printf("\n");
   }
 */
 // float a[WIDTH] = {1,2,3,4};
  float a[LENGTH] = {,,,};
  DFT result[LENGTH];

  DFT sum;
    //w矩阵与初始一维矩阵a相乘
  for(i=;i<LENGTH;i++)
  {
    sum.real = ;
    sum.img = ;
    for(j=;j<LENGTH;j++)
    {
      sum.real += W[i][j].real * a[j];
      sum.img += W[i][j].img * a[j];
    }
    result[i].real = sum.real;
    result[i].img = sum.img;
  }

  for(i=;i<LENGTH;i++)
   {
     if(result[i].real != )
     {
       printf("%3.1f",result[i].real);
     }
     if(result[i].img != 0.0  )
     {
       printf("+%3.1fi",result[i].img);
     }
     printf("\n");
   }
 }
   时间复杂度：O（n2）