【OI】倍增求LCA
╭(′▽`)╯
总之,我们都知道lca是啥,不需要任何基础也能想出来怎么用最暴力的方法求LCA,也就是深度深的点先跳到深度浅的点的同一深度,然后一起向上一步步跳。这样显然太慢了!
所以我们要用倍增,倍增比较屌,直接2^k速度往上跳,而且复杂度和树剖lca差不多,那么步骤分为两步
1.让两个点到同一深度
2.到了同一深度同步往上跳
反正我一开始看的时候一直在想,万一跳过了怎么办?哈哈哈,所以说我们有办法嘛:
定义deepv为v点的深度,设两个要求lca的点分别为a,b,且deepa >= deepb
所以,枚举找出最大的k使2^k <= deepa,这就是最大的跳的距离;
接着让他们到达同一深度:
从大到小枚举k,如果 deepa - 2^k >= deepb就往上跳2^k步,因为如果跳了2^k步的话一定deepa >= deepb
所以,我们跳的第一步一定是能跳的最大的一步,所以接下来只能跳次大的一步,同理跳完之后deepa >= deepb
......
因为k是越来越小的,k = 0的时候2^k = 1,因此无论如何最后都会以最大的效率跳到相同的深度
现在跳到了相同的深度,然后要同时向上走找到lca。
假设跳了 2 ^ k步之后它们到的位置不相等,说明lca还在深度更浅的地方,因为如果跳之后到的位置相等了,显然这个位置一定在lca的上面
所以,只要判断跳了 2 ^ k步后它们的位置如果不相等,就跳这步,这样就保证了跳到的深度一定小于lca,最后k = 0时 2 ^ k = 1,
则枚举完了k,它们所在的深度显然一定是lca的深度-1,则lca就是它们任意一个的父亲。
代码(luogu lca模板):
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring> const int MaxN = ; int n,m,s;
int par[MaxN][];
int deep[MaxN];
bool vis[MaxN]; struct Edge{
int to,nxt;
}e[MaxN*];
int head[MaxN];
int cnt; void add(int u,int v){
e[++cnt].to = v;
e[cnt].nxt = head[u];
head[u] = cnt;
} void getdeep(int u){
vis[u] = ;
for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt){ int to = e[i].to;
if(to == u || vis[to]) continue; par[to][] = u; deep[to] = deep[u] + ; getdeep(to); } } void getpar(){
for(int up = ; (<<up) <= n; up++){
for(int i = ; i <= n ; i++){
par[i][up] = par[par[i][up-]][up-];
} } } int lca(int u,int v){
if(deep[u] < deep[v] ) std::swap(u,v); int max_jump = -; while(<<(max_jump+) <= deep[u]) max_jump++; for(int i = max_jump; i >= ; i--){
if(deep[u] - (<<i) >= deep[v]){
u = par[u][i];
} } if(u == v)
return u; for(int i = max_jump; i >= ; i--){
if(par[u][i] != par[v][i]){
u = par[u][i];
v = par[v][i]; }
} return par[u][]; return ; } int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&s); for(int i = ; i < n; i++ ){
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
add(u,v);
add(v,u);
//par[v][0] = u;
//par[u][0] = v;
} deep[s] = ; getdeep(s); getpar(); for(int i = ; i <= m; i++){
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
printf("%d\n",lca(a,b)); } //par[i][j] = par[par[i][j-1]][j-1] return ;
}
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