bzoj 1220 跳蚤

Written with StackEdit.

Description

\(Z\)城市居住着很多只跳蚤。在\(Z\)城市周六生活频道有一个娱乐节目。一只跳蚤将被请上一个高空钢丝的正中央。钢丝很长，可以看作是无限长。节目主持人会给该跳蚤发一张卡片。卡片上写有\(N+1\)个自然数。其中最后一个是\(M\)，而前\(N\)个数都不超过\(M\)，卡片上允许有相同的数字。跳蚤每次可以从卡片上任意选择一个自然数\(S\)，然后向左，或向右跳\(S\)个单位长度。而他最终的任务是跳到距离他左边一个单位长度的地方，并捡起位于那里的礼物。比如当\(N=2，M=18\)时，持有卡片\((10, 15, 18)\)的跳蚤，就可以完成任务：他可以先向左跳\(10\)个单位长度，然后再连向左跳\(3\)次，每次\(15\)个单位长度，最后再向右连跳\(3\)次，每次\(18\)个单位长度。而持有卡片\((12, 15, 18)\)的跳蚤，则怎么也不可能跳到距他左边一个单位长度的地方。当确定\(N\)和\(M\)后，显然一共有\(M^N\)张不同的卡片。现在的问题是，在这所有的卡片中，有多少张可以完成任务。

Input

输入文件有且仅有一行，包括用空格分开的两个整数\(N\)和\(M\)。

Output

输出文件有且仅有一行，即可以完成任务的卡片数.\(1≤M≤10^8，1≤N≤M，\)且\(M^N≤10^16.\)

Sample Input

2 4

Sample Output

12

Solution

• 显然,根据裴蜀定理,满足\(gcd(a_1,a_2,a_3,......a_n,M)=1\)的即为一组解.我们要对其进行计数.
• 考虑用所有的方案\(M^N\)减去\(gcd\)不为\(1\)的数.
• 因为最后一个数为\(M\),所以\(gcd\)一定是\(M\)的约数.
• 将\(M\)分解质因数后,二进制枚举质因数的组合情况.
• 若当前组合出来的数是\(prod\),那么是\(prod\)倍数的有\(\frac{p}{prod}\)个.
• 那么这样的方案数为\((\frac{p}{prod})^N.\)
• 由于会产生重复计数,所以需要容斥处理.奇数个质因子\(+\),偶数个\(-\).

这样看来,\(M^N\)也是一种特殊情况,\(prod=1\),个数为\(0\),所以用加.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		{
			fh=-1;
			jp=getchar();
		}
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		{
			out=out*10+jp-'0';
			jp=getchar();
		}
	return out*fh;
}
int n,m;
LoveLive fpow(LoveLive a,LoveLive b)
{
	LoveLive res=1;
	while(b)
		{
			if(b&1)
				res*=a;
			a*=a;
			b>>=1;
		}
	return res;
}
LoveLive factor[50];
int main()
{
	n=read(),m=read();
	LoveLive ans=fpow(m,n);
	int p=m,siz=0;
	for(int i=2;i*i<=p;++i)
		if(p%i==0)
			{
				factor[++siz]=i;
				while(p%i==0)
					p/=i;
			}
	if(p>1)
		factor[++siz]=p;
	LoveLive lim=(1<<siz)-1;//质因数的组合方式,二进制枚举
	for(LoveLive i=1;i<=lim;++i)
		{
			LoveLive prod=1,cnt=0;//乘积与这种方案的质因数个数
			for(int j=1;j<=siz;++j)
				if((i>>(j-1))&1)
					{
						prod*=factor[j];
						++cnt;
					}
			if(cnt&1)
				ans-=fpow(m/prod,n);
			else
				ans+=fpow(m/prod,n);
		}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}