时间复杂度O(n^2)和O(nlog n)差距有多大?
0. 时间复杂度
接触到算法的小伙伴们都会知道时间复杂度(Time Complexity)的概念,这里先放出(渐进)时间复杂度的定义:
假设问题规模是\(n\),算法中基本操作重复执行的次数是\(n\)的某个函数,用\(T(n)\)表示,若有某个辅助函数\(f(n)\),使得
\]
其中\(c\)为不等于零的常数,则称\(f(n)\)是\(T(n)\)的同数量级函数。记作\(T(n)=O(f(n))\),称\(O(f(n))\) 为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。
常见的时间复杂度有(表格越靠后表示越不理想):
复杂度 | 名称 |
---|---|
\(O(1)\) | 常数阶 |
\(O(\log n)\) | 对数阶 |
\(O(n)\) | 线性阶 |
\(O(n\log n)\) | 线性对数阶 |
\(O(n^2)\) | 平方阶 |
\(O(n^3)\) | 立方阶 |
\(O(n^k)\) | \(k\)次方阶(\(k>3\)且\(k\in Z\)) |
\(O(2^n)\) | 指数阶 |
例如,我们熟悉的插入排序(Insertion Sort)算法的时间复杂度是\(O(n^2)\),而合并排序(Merge Sort)算法的时间复杂度是\(O(n\log n)\)
那么这些复杂度之间的差距是怎么样的呢?有些小伙伴会疑问,自己写的算法虽然是高复杂度但是也用的好好的,为什么要纠结于这个概念呢?
我们不妨来探索一下今天的问题:\(O(n^2)\)和\(O(n\log n)\)差距有多大?
1. \(O(n^2)\)和\(O(n\log n)\)差距有多大?
我们知道,插入排序(Insertion Sort)算法的时间复杂度是\(O(n^2)\),而合并排序(Merge Sort)算法的时间复杂度是\(O(n\log n)\),即当排序\(n\)个对象时,插入排序算法需要用时大约\(c_1n^2\),而合并排序算法需要用时大约\(c_2n\log{n}\),其中\(c_1\)和\(c_2\)都是正常数且与\(n\)无关,且往往\(c_1<c_2\)。
稍微利用初等数学的知识,可以知道,对于任何\(n>=2\),比较约\(c_1n^2\)和\(c_2n\log{n}\)即比较\(c_1n\)和\(c_2\log{n}\)。由于我们已知
\]
以及
\]
想要比较这两个值的大小,直观的看法就是比较两个不等式谁的差别“更多”。可以证明,当无论\(c_1\)和\(c_2\)差别多么显著,总存在充分大的\(N\)使得当\(n>N\)时,\(c_1n>c_2\log{n}\)。
在Introduction to Algorithms中,作者举了一个很有趣的例子:
假设针对同一排序问题,用一台很快的电脑A运行插入排序,用一台很慢的电脑B运行合并排序,问题规模\(n=10^7\):
两台电脑的差别如下,为了使A比B优势显著,作者假设电脑A性能比B强1000倍,并且B运行的代码更低效、且编译器更差(导致需要运行更多的指令):
电脑A | 电脑B | |
---|---|---|
每秒运行指令数 | \(10^{10}\) | \(10^7\) |
需要运行的指令总数 | \(2n^2\) | \(50n\log n\) |
这样,A完成任务需要:
\]
而B完成任务需要:
\]
可以看到,在这样的大规模的问题下,即便B计算机与A差距巨大,最终也只用了20分钟左右就完成排序,而A却需要5.5小时来完成。时间复杂度的差距可见一斑。
3. 总结
算法时间复杂度的量级差异,也许在小规模的问题下,表现差别不大。但是时间复杂度高的算法,对问题规模的变化更加敏感,因而当问题的规模变得很大的时候,靠拥有高阶时间复杂度的算法来求解并不可靠!
(更新)我从网络上找到了一个直观的各个阶的复杂度的对比,大家不妨参考一下:
# 喜欢就点个赞、关注支持一下吧!
参考:
Thomas H. Cormen, et al., Introduction to Algorithms Part I 1.2
http://www.bigocheatsheet.com
时间复杂度O(n^2)和O(nlog n)差距有多大?的更多相关文章
- 如何快速求解第一类斯特林数--nlog^2n + nlogn
目录 参考资料 前言 暴力 nlog^2n的做法 nlogn的做法 代码 参考资料 百度百科 斯特林数 学习笔记-by zhouzhendong 前言 首先是因为这道题,才去研究了这个玩意:[2019 ...
- 【转】Java学习—什么是时间复杂度
[原文]https://www.toutiao.com/i6593144782992704007/ 转载:程序员小灰 时间复杂度的意义 究竟什么是时间复杂度呢?让我们来想象一个场景: 某一天,小灰和大 ...
- 日常分享:关于时间复杂度和空间复杂度的一些优化心得分享(C#)
前言 今天分享一下日常工作中遇到的性能问题和解决方案,比较零碎,后续会持续更新(运行环境为.net core 3.1) 本次分享的案例都是由实际生产而来,经过简化后作为举例 Part 1(作为简单数据 ...
- careercup-高等难度 18.6
18.6 设计一个算法,给定10亿个数字,找出最小的100万个数字.假定计算机内存足以容纳全部10亿个数字. 解法: 方法1:排序 按升序排序所有的元素,然后取出前100万个数,时间复杂度为O(nlo ...
- [学习笔记] 多项式与快速傅里叶变换(FFT)基础
引入 可能有不少OIer都知道FFT这个神奇的算法, 通过一系列玄学的变化就可以在 $O(nlog(n))$ 的总时间复杂度内计算出两个向量的卷积, 而代码量却非常小. 博主一年半前曾经因COGS的一 ...
- 最小k个数
题目 输入n个整数,找出其中最小的K个数.例如输入4,5,1,6,2,7,3,8这8个数字,则最小的4个数字是1,2,3,4,. 思考 方法0: 直接排序然后返回前k个,最好的时间复杂度为 O(nlo ...
- 排序算法——(2)Python实现十大常用排序算法
上期为大家讲解了排序算法常见的几个概念: 相关性:排序时是否需要比较元素 稳定性:相同元素排序后是否可能打乱 时间空间复杂度:随着元素增加时间和空间随之变化的函数 如果有遗忘的同学可以看排序算法——( ...
- 20172328 2018-2019《Java软件结构与数据结构》第五周学习总结
20172328 2018-2019<Java软件结构与数据结构>第五周学习总结 概述 Generalization 本周学习了第九章:排序与查找,主要包括线性查找和二分查找算法和几种排序 ...
- 超详细的HashMap解析(jdk1.8)
目录 一.预备知识 时间复杂度 基本数据结构 基本位运算 二.HashMap实现原理 结构 速度 三.源码分析 基本常量 基本成员变量 构造方法 put方法 remove 四.日常使用注意事项 五.总 ...
随机推荐
- centos6分辨率设置
问题描述 centos 6.9最小化安装后, 分辨率会很大, 当然也可以最小化VM虚拟机, 但是有强迫症的朋友可以设置一下. 解决方法 打开/etc/grub.conf配置文件, 在kernel 的最 ...
- linux系统运行状态检查
目录 1 CPU状态检查 1.1 运行时间 1.2 CPU占用率 1.3 单核占用率 2 内存状态检查 2.1 内存占用率 2.2 交换分区占用率 3 磁盘状态检查 3.1 系统磁盘容量占用率 3.2 ...
- 移除元素的golang实现
给定一个数组 nums 和一个值 val,你需要原地移除所有数值等于 val 的元素,返回移除后数组的新长度. 不要使用额外的数组空间,你必须在原地修改输入数组并在使用 O(1) 额外空间的条件下完成 ...
- Oracle11g链接提示未“在本地计算机注册“OraOLEDB.Oracle”解决方法
当 用,Provider=OraOLEDB.Oracle方式访问ORACLE11g数据库.出现 未在本地计算机注册“OraOLEDB.Oracle”提供程序提示.解决方案如下: 客户端环境:Win7 ...
- 左侧多级菜单,高亮显示js
左侧多级菜单,如果本页面是当前栏目,则左侧菜单高亮显示 <ul class="nav navbar-stacked" id="navs"> {ded ...
- metamask源码学习-contentscript.js
When a new site is visited, the WebExtension creates a new ContentScript in that page's context, whi ...
- oracle12C 创建PDB
1.根据数据库现有模板创建PDB CREATE PLUGGABLE DATABASE ssptrad ADMIN USER sspIDENTIFIED BY oracle roles=(dba) fi ...
- mysql数据类型介绍(含text,longtext,mediumtext说明)
转自http://m.blog.csdn.net/sipsir/article/details/12343581 转载,文章原连接已经失效,百度快照找到的. MySQL支持大量的列类型,它可以被分为3 ...
- 代码编辑器monaco-editor之基础使用
1.下载安装monaco-editor npm install monaco-editor 我的安装目录在 C://Windows//SystemApps//Microsoft.MicrosoftEd ...
- http/2 多路复用技术
虽然 HTTP 1.1 默认启用长TCP连接,但所有的请求-响应都是按序进行的(这里的长连接可理解成半双工协议.即便是HTTP 1.1引入了管道机制,也是如此).复用同一个TCP连接期间,即便是通过管 ...