BZOJ4530[Bjoi2014]大融合——LCT维护子树信息

题目描述

小强要在N个孤立的星球上建立起一套通信系统。这套通信系统就是连接N个点的一个树。

这个树的边是一条一条添加上去的。在某个时刻，一条边的负载就是它所在的当前能够

联通的树上路过它的简单路径的数量。

例如，在上图中，现在一共有了5条边。其中，(3,8)这条边的负载是6，因

为有六条简单路径2-3-8,2-3-8-7,3-8,3-8-7,4-3-8,4-3-8-7路过了(3,8)。

现在，你的任务就是随着边的添加，动态的回答小强对于某些边的负载的

询问。

输入

第一行包含两个整数N,Q，表示星球的数量和操作的数量。星球从1开始编号。

接下来的Q行，每行是如下两种格式之一：

A x y 表示在x和y之间连一条边。保证之前x和y是不联通的。

Q x y 表示询问(x,y)这条边上的负载。保证x和y之间有一条边。

1≤N,Q≤100000

输出

对每个查询操作，输出被查询的边的负载。

样例输入

8 6
A 2 3
A 3 4
A 3 8
A 8 7
A 6 5
Q 3 8

样例输出

6

 

加边操作保证两个联通块都是树，那么LCT维护就好了嘛！

因为查询时保证x,y之间有边，那么先将x旋到原树的根reverse(x)，再将y到根路径变成重链access(y)并将y旋成splay的根splay(y)。

这样x就是y的左儿子，查询的就是x子树大小和整棵树大小-x子树大小的乘积。注意这里的子树是指原树中的子树。

平常我们做的LCT都是维护树上路径信息，其实LCT也能维护子树信息。

我们将LCT上一个点的子节点分为两种：一种是实子节点，也就是这个点在splay上的左右子节点；另一种是虚子节点，就是指向这个点的节点，也就是原树中这个点的轻儿子。

LCT维护的路径信息是什么？一个点的权值+实子节点子树中的权值和。

那么LCT维护的子树信息呢？就是一个点的权值+实子节点子树中的权值和+虚子节点子树中的权值和。

怎么上传虚节点的信息呢？每个节点维护两个信息，一个是原树中整个子树的节点数，一个是原树中所有虚子节点子树的节点数之和。

我们考虑在什么地方会改变虚子节点的信息：

1、在access时一个点的右子节点会变成虚子节点，而上一次splay的节点会变成这个点的右子节点。

2、在link(x,y)时会将x指向y，这时y的虚子节点会多一个x，因此要更新y的信息。

知道怎么维护子树信息后就可以LCT过这道题了，注意答案爆int。

#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m;
int x,y;
char ch[3];
int s[100010][2];
int f[100010];
int r[100010];
int st[100010];
int size[100010];
int sum[100010];
int get(int rt)
{
    return rt==s[f[rt]][1];
}
void pushup(int rt)
{
    sum[rt]=sum[s[rt][0]]+sum[s[rt][1]]+size[rt]+1;
}
void pushdown(int rt)
{
    if(r[rt])
    {
        r[s[rt][0]]^=1;
        r[s[rt][1]]^=1;
        r[rt]^=1;
        swap(s[rt][0],s[rt][1]);
    }
}
int is_root(int rt)
{
    return rt!=s[f[rt]][0]&&rt!=s[f[rt]][1];
}
void rotate(int rt)
{
    int fa=f[rt];
    int anc=f[fa];
    int k=get(rt);
    if(!is_root(fa))
    {
        s[anc][get(fa)]=rt;
    }
    s[fa][k]=s[rt][k^1];
    f[s[fa][k]]=fa;
    s[rt][k^1]=fa;
    f[fa]=rt;
    f[rt]=anc;
    pushup(fa);
    pushup(rt);
}
void splay(int rt)
{
    int top=0;
    st[++top]=rt;
    for(int i=rt;!is_root(i);i=f[i])
    {
        st[++top]=f[i];
    }
    for(int i=top;i>=1;i--)
    {
        pushdown(st[i]);
    }
    for(int fa;!is_root(rt);rotate(rt))
    {
        if(!is_root(fa=f[rt]))
        {
            rotate(get(fa)==get(rt)?fa:rt);
        }
    }
}
void access(int rt)
{
    for(int x=0;rt;x=rt,rt=f[rt])
    {
        splay(rt);
        size[rt]+=sum[s[rt][1]]-sum[x];
        s[rt][1]=x;
        pushup(rt);
    }
}
void reverse(int rt)
{
    access(rt);
    splay(rt);
    r[rt]^=1;
}
void link(int x,int y)
{
    reverse(x);
    reverse(y);
    f[x]=y;
    size[y]+=sum[x];
    pushup(y);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    while(m--)
    {
        scanf("%s",ch);
        scanf("%d%d",&x,&y);
        if(ch[0]=='A')
        {
            link(x,y);
        }
        else
        {
            reverse(x);
            reverse(y);
            printf("%lld\n",1ll*(sum[y]-sum[x])*sum[x]);
        }
    }
}