[array] leetcode-56. Merge Intervals

leetcode-56. Merge Intervals - Medium

descrition

Given a collection of intervals, merge all overlapping intervals.

For example,
Given [1,3],[2,6],[8,10],[15,18],
return [1,6],[8,10],[15,18].

解析

两个思路，都比较有难度。注意算法正确性的证明。

方法 1 - 连通分支

通过图的方法来解决。算法描述如下：

以每个间隔 interval 为图的顶点，如果两个 interval 是包含关系，即有其中一个被另一个包含，则使用无向边将两个顶点连接起来。由此图中每一个连通分量都可以进行合并。问题就转换成了如何求图的联通分量的问题。

此方法并非最优解，详细参考官网的 solution。这里重点介绍方法 2.

方法 2

算法描述：

令 ans 结果返回数组，istart, iend 分别表示当前 interval 的起止。

对于 intervals[] 数组：

预处理：根据其起点，即 intervals[i].start 对 intervals 进行非递减有序排序。
初始化：istart = intervals[0].start, iend = intervals[0].end
循环执行以下步骤（ i = [1, ..., n-1]）：
- 如果 intervals[i].start <= end：说明当前的 intervals[i] 可以被合并，此时更新 iend = max(iend, intervals[i].end)，interval.end 不是有序的，因此要取两段间的最大值最为结尾。
- 否则：说明当前的 intervals[i] 不能被合并，则 (istart, iend) 形成一个新的被加入到 ans 中，并更新 istart = intervals[i].start, iend = intervals[i].end
注意最后一次 (istart, iend) 加入到 ans 中。

正确性证明：

使用反证法进行证明。

假设：以上算法不能将某些本应被合并的 interval 进行合并。

根据假设，则说明存在以下情况： 3 个下标，i, j, k，不失一般性令 i < j < k，此时 intervals[i] 和 intervals[k] 可以合并，但 intervals[i] 和 intervals[j]，intervals[j] 和 intervals[k] 都不能合并。（算法中只考虑了相邻的 interval，因此当该情况存在时不能被识别）。

由以上假设可以得到不等式：

由不能合并的条件得到：
intervals[i].end < intervals[j].start
intervals[j].end < intervals[k].start
由合并的条件得到：
intervals[i].end >= intervals[k].start

根据 interval 的定义，有 intervals[j].start <= intervals[j].end，由此对以上不等式进行合并得到：

intervals[i].end < intervals[j].start <= intervals[j].end < intervals[k].start
==> intervals[i].end < intervals[k].start
与条件 intervals[i].end >= intervals[k].start 矛盾。

综上，算法得到的结果是正确的。

复杂度分析

时间复杂度-O(nlog(n))，取决于排序算法
空间复杂度-O(1) 或 O(n)，取决于排序算法是否可以原址完成。

code

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct Interval{
	int start;
	int end;
	Interval(): start(0), end(0) {}
	Interval(int s, int e): start(s), end(e) {}
};
class Solution{
public:
	vector<Interval> merge(vector<Interval>& intervals){
		vector<Interval> ans;
		if(intervals.empty())
			return ans;
		// sort intervals in ascending by Interval.start
		sort(intervals.begin(), intervals.end(), comp);
		int istart = intervals[0].start; // the start of the current interval
		int iend = intervals[0].end;     // the end of the current interval
		for(int i=1; i<intervals.size(); i++){
			if(intervals[i].start <= iend){
				iend = max(iend, intervals[i].end);
			}else{
				ans.push_back(Interval(istart, iend));
				istart = intervals[i].start;
				iend = intervals[i].end;
			}
		}
		// don't forget the last interval
		ans.push_back(Interval(istart, iend));
		return ans;
	}
	static bool comp(Interval int1, Interval int2){ // in ascending
		return int1.start < int2.start;
	}
};
int main()
{
	return 0;
}