题目大意

用1x2的单元拼接出 NxM的矩形,单元可以横放或者纵放,N < 1000, M <= 5. 求不同的拼接方案总数。

分析

计算机解决问题的基本思路:搜索状态空间。如果采用dfs进行搜索,则可以将当前搜索的位置(i, j)作为状态,而不保存棋盘的占用情况,每次扩展时进行判断是否可行。这样可以得到最后的结果,但当然会超时。 
    (1) 参考hiho_1048中的提示,可以知道在搜索的时候按照固定的顺序可以大幅度剪枝(通过将无序的搜索变成有序的搜索来实现)。然后可以对中间结果进行保存,即记忆化搜索。状态dp[i][j][s1][s2] 表示求第i行,第j列位置开始扩展,且第i行的占用状态为s1, 第i+1行的占用状态为s2 时,填满剩余的空格的方案总数。

(2)将记忆化搜索直接使用动态规划来实现,状态 dp2[i][k1][k2] 表示前i-1行都已经填满了,此时第i行的占用情况的二进制表示转换为十进制为 k1,第i+1行的占用情况的二进制表示转换为十进制为 k2,达到此时棋盘占用情况的摆放方案总数。 
    这样,可以进行状态转移时,枚举第i行的占用情况k1,和第i+1行的占用情况k2,看是否可以进行扩展,blabla...

实现

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
#define BIT(i, j) (i & (1 << (j - 1)))
const int mod = ;
int dp[][][][]; /*记忆化搜索
n,m为边界n行,m列。
求第i行,第j列位置开始扩展,且第i行的占用状态为s1, 第i+1行的占用状态为s2 时,填满剩余的空格的方案总数
*/
int dfs(int n, int m, int i, int j, int s1, int s2){
if (dp[i][j][s1][s2] != -)
return dp[i][j][s1][s2];
int result = ;
//边界!! 无法继续扩展时,取值为1,表示所有扩展到此的合理情况的初始均为1
if (i > n || j > m || s1 >= ( << m) || s2 >= ( << m))
return ;
//如果第i行位置j(从右向左)被占用,且j < m,向左扩展
if (BIT(s1, j) && j < m)
result = dfs(n, m, i, j + , s1, s2);
//如果第i行位置j(从右向左)被占用,且j = m,向下一行扩展
else if (BIT(s1, j) && j == m)
result = dfs(n, m, i + , , s2, );
//如果第i行位置j没有被占用,且无法向左或者向下扩展
else if (BIT(s1, j) == && (j == m || BIT(s1, j + )) && (i == n || BIT(s2, j)))
result = ;
//如果第i行位置j没有被占用,且只能向左扩展
else if (BIT(s1, j) == && j < m && BIT(s1, j + ) == && (i == n || BIT(s2, j)))
result = dfs(n, m, i, j, s1 | ( << (j - )) | ( << j), s2);
//如果第i行位置j没有被占用,且只能向下扩展
else if (BIT(s1, j) == && (j == m || BIT(s1, j + )) && (i < n && BIT(s2, j) == ))
result = dfs(n, m, i, j, s1 | ( << (j - )), s2 | ( << (j - )));
//如果第i行位置j没有被占用,且可以向左或向下扩展
else if (BIT(s1, j) == && j < m && BIT(s1, j + ) == && i < n && (BIT(s2, j) == ))
result = dfs(n, m, i, j, s1 | ( << (j - )) | ( << j), s2) +
dfs(n, m, i, j, s1 | ( << (j - )), s2 | ( << (j - )));
//记忆化保存
return dp[i][j][s1][s2] = result % mod;
} //动归数组, dp2[i][k1][k2] 表示前i-1行都已经填满了,此时第i行的占用情况的二进制表示转换为十进制为 k1,
// 第i+1行的占用情况的二进制表示转换为十进制为 k2
int dp2[][][];
int main(){
int n, m;
scanf("%d %d", &n, &m);
/*
记忆化搜索
memset(dp, -1, sizeof(dp));
int result = dfs(n, m, 1, 1, 0, 0);
printf("%d\n", result);
*/ //动态规划
memset(dp2, , sizeof(dp2));
//初始状态,第1行未被占用,只有1种可能。
dp2[][][] = ;
int mx = << m;
for (int i = ; i <= n; i++){
    /*
      下面的 j (第i行从右到左的每个位置)循环放在 k1(第i行当前的bit状态) 之前是为了去除重复! 因为我们总是按照顺序从上到下,从右到左枚举当前可以放置方块的位置点,
      在循环到每个(i, j)点,都看当前的哪些k1状态可以在次扩展
    */
for (int j = ; j <= m; j++){
//枚举第i行的所有情况(占用情况的二进制表示转换为十进制)
for (int k1 = ; k1 < mx; k1++){
//如果第i行的第j个位置(从右向左)为0,则可以从这里开始扩展
if ((k1 & ( << (j - ))) == ){
//看是否可以横向扩展
if (j < m && ( (( << j) & k1) == )){
//状态转移
for (int k2 = ; k2 < mx; k2++){
dp2[i][k1 | ( << j) | ( << (j - ))][k2] =
(dp2[i][k1 | ( << j) | ( << (j - ))][k2] + dp2[i][k1][k2]) % mod;
}
}
if (i < n) //看是否可以纵向扩展
//当前的第i+1行的占用情况
for (int k2 = ; k2 < mx; k2++){
//如果第i+1行的第j个位置(从右向左)为0,则可以纵向扩展
if ((( << (j-)) & k2) == )
//状态转移
dp2[i][k1 | ( << (j - ))][k2 | ( << (j - ))] =
(dp2[i][k1 | ( << (j - ))][k2 | ( << (j - ))] + dp2[i][k1][k2]) % mod;
}
}
}
}
//当第i行全部被占用满时,可以将第i+1行的状态 转移到 i+1行的当前行
for (int k = ; k < mx; k++){
dp2[i + ][k][] = dp2[i][mx - ][k];
}
}
//最后的结果是n行全部占满,此时第n行为 mx-1, 第n+1行为0
printf("%d\n", dp2[n][mx-][]);
return ;
}

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