n皇后2种解题思路与代码-Java与C++实现

林炳文Evankaka原创作品。转载请注明出处http://blog.csdn.net/evankaka

摘要：本文主要讲了n皇后问题的解题思路，并分别用java和c++实现了过程，最后，对于算法改进，使用了位运算。

一、问题抛出与初步解题思路

问题描述：八皇后问题是一个以国际象棋为背景的问题：如何能够在 8×8 的国际象棋棋盘上放置八个皇后，使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后？为了达到此目的，任两个皇后都不能处于同一条横行、纵行或斜线上。

转化规则：其实八皇后问题可以推广为更一般的n皇后摆放问题：这时棋盘的大小变为n×n，而皇后个数也变成n。当且仅当 n = 1 或 n ≥ 4 时问题有解。令一个一位数组a[n]保存所得解，其中a[i] 表示把第i个皇后放在第i行的列数（注意i的值都是从0开始计算的），下面就八皇后问题做一个简单的从规则到问题提取过程。

 

（1）因为所有的皇后都不能放在同一列，因此数组的不能存在相同的两个值。
（2）所有的皇后都不能在对角线上，那么该如何检测两个皇后是否在同一个对角线上？我们将棋盘的方格成一个二维数组，如下：

假设有两个皇后被放置在（i，j）和（k，l）的位置上，明显，当且仅当|i-k|=|j-l| 时，两个皇后才在同一条对角线上。

二、代码与结果

（1）C++版本

运行平台：VS2013

操作系统:Windows7

1. /**
2. * n皇后问题解决
3. * @author lin
4. *
5. */
6. #include <iostream>
7. #include <cmath>
8. #include<time.h>
9. using namespace std;
10. /**皇后的数目*/
11. static int num;
12. /**下标i表示第几行，x[i]表示第i行皇后的位置,注意此处0行不用*/
13. static int *x;
14. /**解的数目*/
15. static int sum = 0;
16. /**
17. * 判断第k行皇后可以放置的位置
18. * @param k k表示第k行，X[K]k表示第k行上皇后的位置
19. * @return boolean false表示此处不能放置皇后
20. */
21. bool place( int k )
22. {
23. for ( int j = 1; j < k; j++ )
24. {
25. /* 如果当前传入的第K行上的皇后放置的位置和其它皇后一个对角线(abs(x[k]- x[j])==abs(k-j)或一个直线上(x[j] == x[k]) */
26. if ( abs( x[k] - x[j] ) == abs( k - j ) || x[j] == x[k] )
27. {
28. return(false);
29. }
30. }
31. return(true);
32. }
33. /**
34. * 一行一行的确定该行的皇后位置
35. * @param t
36. */
37. void backtrack( int t )
38. {
39. if ( t > num )                  /* 如果当前行大于皇后数目，表示找到解了 */
40. {
41. sum++;
42. /* 依次打印本次解皇后的位置 */
43. for ( int m = 1; m <= num; m++ )
44. {
45. //cout << x[m];   /* 这一行用输出当递归到叶节点的时候，一个可行解 */
46. //这里只是为了好看才写成下面的
47. for(int k =1; k <= num;k++){
48. if(k == x[m]){
49. cout << x[m] <<" ";
50. }else {
51. cout << "* ";//用*表示没有被用到的位置
52. }
53. }
54. cout << endl;
55. }
56. cout << endl;
57. } else {
58. for ( int i = 1; i <= num; i++ )
59. {
60. x[t] = i;       /* 第t行上皇放在i列处 */
61. if ( place( t ) )
62. {
63. /* 此处的place函数用来进行我们上面所说的条件的判断，如果成立，进入下一级递归 */
64. backtrack( t + 1 );
65. }
66. }
67. }
68. }
69. int main()
70. {
71. cout<<"请输入皇后数目：";
72. cin>>num;
73. clock_t start,finish;
74. double totaltime;//计算程序运行时间
75. start=clock();//起始时间
76. x   = new int[num + 1];     /* 此处注意加1，这里0行不用，1-num分别对应1-num行 */
77. for ( int i = 0; i <= num; i++ )
78. x[i] = 0;
79. backtrack( 1 );                 /*传入第一个皇后，开始递归 */
80. cout << "方案共有" << sum;
81. delete[]x;
82. finish=clock();//结束时间
83. totaltime=(double)(finish-start)/CLOCKS_PER_SEC;
84. cout<<"\n此程序的运行时间为"<<totaltime<<"秒！"<<endl;
85. while (1);
86. return(0);
87. }

输出结果：

8皇后：

10皇后：

（2）java版本

运行平台：eclispse luna

操作系统:Windows7

1. package com.lin;
2. import java.lang.*;
3. /**
4. * n皇后问题解决
5. * @author lin
6. *
7. */
8. public class QueenTest {
9. /**下标i表示第几行，x[i]表示第i行皇后的位置,注意此处0行不用*/
10. public int[] x;
11. /**皇后的数目*/
12. public int queenNum;
13. /**解的数目*/
14. public int methodNum;
15. QueenTest(int queenNum) {
16. this.queenNum = queenNum;
17. this.x = new int[queenNum+1];//注意，这里我们从第1行开始算起，第0行不用
18. backtrack(1);//从第一个皇后开始递归
19. }
20. /**
21. * 一行一行的确定该行的皇后位置
22. * @param t
23. */
24. public void backtrack(int t)
25. {
26. if( t > queenNum) //如果当前行大于皇后数目，表示找到解了
27. {
28. methodNum++;//sum为所有的可行的解
29. //依次打印本次解皇后的位置
30. for(int m = 1; m <= queenNum; m++){
31. //System.out.println(x[m]);//这一行用输出当递归到叶节点的时候，一个可行解
32. //这里只是为了好看才写成下面的
33. for(int k =1; k <= queenNum;k++){
34. if(k == x[m]){
35. System.out.print(x[m]+" ");
36. }else {
37. System.out.print("* ");//用*表示没有被用到的位置
38. }
39. }
40. System.out.println();
41. }
42. System.out.println();
43. }
44. else{
45. for(int i = 1;i <= queenNum;i++)
46. {
47. x[t] = i;//第t行上皇后的位置只能是1-queenNum
48. if(place(t)) {//此处的place函数用来进行我们上面所说的条件的判断，如果成立，进入下一级递归,即放置下一个皇后
49. backtrack(t+1);
50. }
51. }
52. }
53. }
54. /**
55. * 判断第k行皇后可以放置的位置
56. * @param k k表示第k行，X[K]k表示第k行上皇后的位置
57. * @return boolean false表示此处不能放置皇后
58. */
59. public boolean place(int k) {
60. for (int j = 1; j < k; j++)
61. // 如果当前传入的第K行上的皇后放置的位置和其它皇后一个对角线(abs(x[k]- x[j])==abs(k-j)或一个直线上(x[j] == x[k])
62. if (Math.abs(x[k] - x[j]) == Math.abs(k - j) || (x[j] == x[k])){
63. return false;
64. }
65. return true;
66. }
67. public static void main(String[] args) {
68. QueenTest queenTest = new QueenTest(8);
69. System.out.println("总共解数为："+ queenTest.methodNum);
70. }
71. }

输出结果：

这是八皇后

这是十皇后：

通过对比java和C++发现，反而java运行更加快？这是为什么呢？原因就是C++中使用了new操作，而java中基本数据都是在栈上来创建的，存取的速度比堆快多了。

三、更加高效的算法-位运算版本

上面的方法递归次数实在太多了，也浪费空间，下面介绍目前号称是最快的--位运算。原理就不介绍了，看这里吧http://blog.csdn.net/xadillax/article/details/6512318

（1）Java代码

1. package com.lin;
2. import java.util.Scanner;
3. /**
4. * n皇后问题解决
5. * @author lin
6. *
7. */
8. public class QueenTest3 {
9. /**sum用来记录皇后放置成功的不同布局数*/
10. public long sum = 0;
11. /**upperlim用来标记所有列都已经放置好了皇后*/
12. public long upperlim = 1;
13. /**
14. * 试探算法从最右边的列开始。
15. * @param row 竖列
16. * @param ld  左对角线
17. * @param rd  右对角线
18. */
19. void queenPos(long row, long ld, long rd)
20. {
21. if (row != upperlim)
22. {
23. // row，ld，rd进行“或”运算，求得所有可以放置皇后的列,对应位为0，
24. // 然后再取反后“与”上全1的数，来求得当前所有可以放置皇后的位置，对应列改为1
25. // 也就是求取当前哪些列可以放置皇后
26. long pos = upperlim & ~(row | ld | rd);
27. while (pos != 0)    // 0 -- 皇后没有地方可放，回溯
28. {
29. // 拷贝pos最右边为1的bit，其余bit置0
30. // 也就是取得可以放皇后的最右边的列
31. long p = pos & -pos;
32. // 将pos最右边为1的bit清零
33. // 也就是为获取下一次的最右可用列使用做准备，
34. // 程序将来会回溯到这个位置继续试探
35. pos -= p;
36. // row + p，将当前列置1，表示记录这次皇后放置的列。
37. // (ld + p) << 1，标记当前皇后左边相邻的列不允许下一个皇后放置。
38. // (ld + p) >> 1，标记当前皇后右边相邻的列不允许下一个皇后放置。
39. // 此处的移位操作实际上是记录对角线上的限制，只是因为问题都化归
40. // 到一行网格上来解决，所以表示为列的限制就可以了。显然，随着移位
41. // 在每次选择列之前进行，原来N×N网格中某个已放置的皇后针对其对角线
42. // 上产生的限制都被记录下来了
43. queenPos(row + p, (ld + p) << 1, (rd + p) >> 1);
44. }
45. }
46. else
47. {
48. // row的所有位都为1，即找到了一个成功的布局，回溯
49. sum++;
50. }
51. }
52. /**
53. * 根据传入的皇后数目开始计算
54. * @param n 皇后数据
55. */
56. void queen(int queenNum) {
57. if ((queenNum < 1) || (queenNum > 32)) {
58. System.out.println(" 只能计算1-32之间\n");
59. return;
60. }
61. // N个皇后只需N位存储，N列中某列有皇后则对应bit置1。
62. upperlim = (upperlim << queenNum) - 1;
63. queenPos(0, 0, 0);
64. }
65. public static void main(String[] args) {
66. Scanner sc=new Scanner(System.in);
67. System.out.print("请输入皇后数目:");
68. int num=sc.nextInt();
69. long starTime=System.currentTimeMillis();//程序开始时间
70. QueenTest3 queenTest3 = new QueenTest3();
71. queenTest3.queen(num);
72. System.out.println("总共解数为："+ queenTest3.sum);
73. long endTime=System.currentTimeMillis();//程序结束时间
74. double runTimes=(double)(endTime-starTime) / 1000.0;
75. System.out.println("程序总共运行时间："+ runTimes + "s");
76. }
77. }

运行结果：

八皇后的效果：（位运算版本）

把上面的代码中的输出结果的去掉：（非位运算版本）

1. //依次打印本次解皇后的位置
2. /*  for(int m = 1; m <= queenNum; m++){
3. //System.out.println(x[m]);//这一行用输出当递归到叶节点的时候，一个可行解
4. //这里只是为了好看才写成下面的
5. for(int k =1; k <= queenNum;k++){
6. if(k == x[m]){
7. System.out.print(x[m]+" ");
8. }else {
9. System.out.print("* ");//用*表示没有被用到的位置
10. }
11. System.out.println();
12. }
13. System.out.println();*/

然后输出如下：

经过两者对比，发现快了2ms

十皇后效果，没想到反而比八皇后的位运算版本还快（十皇后位运算版本）

十皇后非位运算版本

快了10倍啊！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

 

12皇后

位运算

非位运算

（2）C++版本

1. /*
2. ** 目前最快的N皇后递归解决方法
3. ** N Queens Problem
4. ** 试探-回溯算法，递归实现
5. */
6. #include <iostream>
7. using namespace std;
8. #include <time.h>
9. // sum用来记录皇后放置成功的不同布局数；upperlim用来标记所有列都已经放置好了皇后。
10. long sum = 0, upperlim = 1;
11. // 试探算法从最右边的列开始。
12. void test(long row, long ld, long rd)
13. {
14. if (row != upperlim)
15. {
16. // row，ld，rd进行“或”运算，求得所有可以放置皇后的列,对应位为0，
17. // 然后再取反后“与”上全1的数，来求得当前所有可以放置皇后的位置，对应列改为1
18. // 也就是求取当前哪些列可以放置皇后
19. long pos = upperlim & ~(row | ld | rd);
20. while (pos)    // 0 -- 皇后没有地方可放，回溯
21. {
22. // 拷贝pos最右边为1的bit，其余bit置0
23. // 也就是取得可以放皇后的最右边的列
24. long p = pos & -pos;
25. // 将pos最右边为1的bit清零
26. // 也就是为获取下一次的最右可用列使用做准备，
27. // 程序将来会回溯到这个位置继续试探
28. pos -= p;
29. // row + p，将当前列置1，表示记录这次皇后放置的列。
30. // (ld + p) << 1，标记当前皇后左边相邻的列不允许下一个皇后放置。
31. // (ld + p) >> 1，标记当前皇后右边相邻的列不允许下一个皇后放置。
32. // 此处的移位操作实际上是记录对角线上的限制，只是因为问题都化归
33. // 到一行网格上来解决，所以表示为列的限制就可以了。显然，随着移位
34. // 在每次选择列之前进行，原来N×N网格中某个已放置的皇后针对其对角线
35. // 上产生的限制都被记录下来了
36. test(row + p, (ld + p) << 1, (rd + p) >> 1);
37. }
38. }
39. else
40. {
41. // row的所有位都为1，即找到了一个成功的布局，回溯
42. sum++;
43. }
44. }
45. int main()
46. {
47. int num;
48. cout<<"请输入皇后数目：";
49. cin>>num;
50. clock_t start,finish;
51. double totaltime;//计算程序运行时间
52. start=clock();//起始时间
53. // 因为整型数的限制，最大只能32位，
54. // 如果想处理N大于32的皇后问题，需要
55. // 用bitset数据结构进行存储
56. if ((num < 1) || (num > 32))
57. {
58. cout << " 只能计算1-32之间\n";
59. return 0;
60. }
61. // N个皇后只需N位存储，N列中某列有皇后则对应bit置1。
62. upperlim = (upperlim << num) - 1;
63. test(0, 0, 0);
64. cout << "方案共有" << sum;
65. finish=clock();//结束时间
66. totaltime=(double)(finish-start)/CLOCKS_PER_SEC;
67. cout<<"\n此程序的运行时间为"<<totaltime<<"秒！"<<endl;
68. while(1);
69. return 0;
70. }

输出结果：

下面来对比下java和C++运算的效果：

16皇后C++版本（位运算）

16皇后java版本（位运算）

发现又是java快了点。

from: http://blog.csdn.net/evankaka/article/details/48756951