【BZOJ2595】游览计划（状压DP，斯坦纳树）

题意：见题面（我发现自己真是越来越懒了）

有N*M的矩阵，每个格子有一个值a[i,j]

现要求将其中的K个点（称为关键点）用格子连接起来，取(i,j)的费用就是a[i,j]

求K点全部连通的最小花费以及方案

n,m,k<=10

思路：斯坦纳树

虽然去年就疑似过了一道裸题，不过估计也是COPY的std，早就忘干净了

先%了一发论文，看到了几道有意思的SPFA的应用，准备去做一下

dp[i,j,sta]表示以(i,j)为根，关键点联通情况为sta的最小花费

显然初始化 \[ dp[i,j,1<<(k-1)]=0 （i,j为k号关键点）\]

\[ dp[i,j,sta]=dp[i,j,x]+dp[i,j,sta xor x]-a[i,j] \] 即合并子集

\[ dp[i,j,sta]=dp[x,y,sta]+a[i,j]\]  即合并道路

第一个转移可以枚举子集

第二个转移可能有环且形式是最短路，使用SPFA队列更新

类似一个分层图，SPFA的时候只用跑本层的内容

以下转自某大神blog：进行spfa的时候只需要对当前层的节点进行spfa就行了，不需要整个图完全松弛一遍，因为更高的层都可以通过枚举子集而变成若干个更低的层

时间复杂度：SPFA显然O(2^k)

枚举子集的dp时每个点有3个状态：不是子集，是子集但没取到，是子集且枚举到了

所以O(3^k)

总时间复杂度O(3^k*n*m)

PS：其实暴力的想法：Sigma C(k,k-i)*2^i用二项式展开就是3^k啦（感谢邻桌数学国家队CWY同学）

 const oo=;
       dx:array[..]of longint=(-,,,);
       dy:array[..]of longint=(,,-,);
 var dp:array[..,..,..]of longint;
     pre:array[..,..,..,..]of longint;
     flag,a,inq:array[..,..]of longint;
     q:array[..,..]of longint;
     n,m,i,j,x,y,k,v,k1,t,w,sta,tmp,ux,uy:longint;

 procedure dfs(i,j,sta:longint);
 var x,y,z:longint;
 begin
  if sta= then exit;
  flag[i,j]:=;
  x:=pre[i,j,sta,]; y:=pre[i,j,sta,]; z:=pre[i,j,sta,];
  dfs(x,y,z);
  if (x=i)and(y=j) then dfs(x,y,sta xor z);
 end;

 procedure print(x,y:longint);
 var i,j:longint;
 begin
  writeln(dp[x,y,(<<k1)-]);
  fillchar(flag,sizeof(flag),);
  dfs(x,y,(<<k1)-);
  for i:= to n do
  begin
   for j:= to m do
    if a[i,j]> then
    begin
     if flag[i,j]= then write('o')
      else write('_');
    end
     else write('x');
   writeln;
  end;
 end;

 begin
  assign(input,'bzoj2595.in'); reset(input);
  assign(output,'bzoj2595.out'); rewrite(output);
  readln(n,m);
  for i:= to n do
   for j:= to m do read(a[i,j]);
  fillchar(dp,sizeof(dp),$7f);
  for i:= to n do
   for j:= to m do
    if a[i,j]= then
    begin
     inc(k1); dp[i,j,<<(k1-)]:=;
    end;
  for v:= to (<<k1)- do
  begin
   fillchar(inq,sizeof(inq),);
   t:=; w:=;
   for i:= to n do
    for j:= to m do
    begin
     x:=v and (v-);
     while x> do
     begin
      tmp:=dp[i,j,x]+dp[i,j,v xor x]-a[i,j];
      if tmp<dp[i,j,v] then
      begin
       dp[i,j,v]:=tmp;
       pre[i,j,v,]:=i; pre[i,j,v,]:=j; pre[i,j,v,]:=x;
      end;
      x:=v and (x-);
     end;
     if dp[i,j,v]<oo then begin inc(w); q[w,]:=i; q[w,]:=j; inq[i,j]:=; end;
    end;
    while t<w do
    begin
     inc(t); ux:=q[t mod ,]; uy:=q[t mod ,]; inq[ux,uy]:=;
     for k:= to  do
     begin
      x:=ux+dx[k]; y:=uy+dy[k];
      if (x>)and(x<=n)and(y>)and(y<=m)and(dp[ux,uy,v]+a[x,y]<dp[x,y,v]) then
      begin
       dp[x,y,v]:=dp[ux,uy,v]+a[x,y];
       pre[x,y,v,]:=ux; pre[x,y,v,]:=uy; pre[x,y,v,]:=v;
       if inq[x,y]= then
       begin
        inc(w); q[w mod ,]:=x; q[w mod ,]:=y; inq[x,y]:=;
       end;
      end;
     end;
    end;
  end;

  for i:= to n do
  begin
   for j:= to m do
    if a[i,j]= then begin print(i,j); break; end;
   if a[i,j]= then break;
  end;
  close(input);
  close(output);
 end.