牛顿迭代法求n方根
一、简单推导
二、使用
借助上述公式,理论上可以求任意次方根,假设要求a(假设非负)的n次方根,则有xn=a,令f(x)=xn-a,则只需求f(x)=0时x的值即可。由上述简单推导知,当f(x)=0时,xn+1=xn,因此把f(x)=xn-a 代入上述迭代式进行迭代直至xn+1=xn即可。
实际中xn+1=xn可能永远达不到,可以根据给定精度△,当|xn+1-xn|<△成立时即可停止迭代,此时的xn+1即为所求。
下面以算术平方根和立方根举例。
(一)算术平方根
设待求算术平方根的数为a,其算术平方根为x,则x2=a,令f(x)=x2-a,代入上面的递推式有xn+1=xn-(xn2-a)/(2xn),整理得xn+1=(1/2)(xn+a/xn)
代码如下:
- double sqrt(double a)
- {
- double x1=a;
- double x2=a/;
- while(fabs(x1-x2)>0.0000001)
- {
- //printf("%f\n",x2);
- x1=x2;
- x2=0.5*(x1+a/x1);
- }
- return x2;
- }
(二)立方根
同理,令f(x)=x3-a,代入递推式有xn+1=xn-(xn3-a)/(3xn2),整理得xn+1=(1/3)(2xn+a/xn2)
代码如下:
- double cubrt(double a)
- {
- double x1=a;
- double x2=a/;
- while(fabs(x1-x2)>0.0000001)
- {
- //printf("%f\n",x2);
- x1=x2;
- x2=(*x1+a/(x1*x1))/3.0;
- }
- return x2;
- }
三、(题外话)手算算式平方根
顺便提下,在网上看到了一个手动列算式求解任意正整数算术平方根的方法,如下:
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