n阶前缀和 の 拆解

二阶

\[\sum_{i=l}^{r} \sum^{i}_{j=1} a_j
\]

\[=\sum_{i=l}^{r} (r-i+1) a_i
\]

\[=(r+1)\sum_{i=l}^{r} a_i+\sum_{i=l}^{r} i \cdot a_i
\]

这个很好理解，因为对于第 \(i\) 个数，他加了 \((r-i+1)\) 次

三阶

正常拆解

\[\sum_{i=l}^{r} \sum^{i}_{j=1} \sum_{k=1}^{j} a_k
\]

\[=\sum_{i=l}^{r} \sum_{j=1}^{i} (i-j+1) a_j
\]

\[=\sum_{i=l}^{r} {\Large (}(i+1) \cdot \sum_{j=1}^{i} a_j - \sum_{j=1}^{i} j \cdot a_j{\Large )}
\]

\[=\sum_{i=l}^{r} {\Large (} (i+1) \cdot \sum_{j=1}^{i} a_j {\Large )} - \sum_{i=l}^{r} \sum_{j=1}^{i} j \cdot a_j
\]

直接拆开可得（可用数学归纳法）：

\[\sum^{r}_{i=l} \frac{(r-i+1)(r+i+2)}{2} a_i - \sum_{i=l}^{r} i \cdot (r-i+1) a_i
\]

合并，得：

\[\sum^{r}_{i=l} \frac{(r-i+1)(r-i+2)}{2} a_i
\]

展开，得：

\[\sum^{r}_{i=l} \frac{r^2+i^2-2ri-3i+2}{2} a_i
\]

即：

\[\frac{1}{2}\sum^{r}_{i=l} i^2 \cdot a_i -\frac{2r+3}{2} \sum^{r}_{i=l} i \cdot a_i + \frac{r^2+2}{2}\sum^{r}_{i=l} a_i
\]

即维护 \(\sum^{r}_{i=l} i^2 \cdot a_i\)，\(\sum^{r}_{i=l} i \cdot a_i\)，\(\sum^{r}_{i=l} a_i\) 即可

另一种方法

令

\[b_i=\sum_{j=1}^i a_j
\]

然后原式化为：

\[\sum_{i=l}^{r} \sum^{i}_{j=1} b_j
\]

同2阶，展开：

\[(r+1) \cdot \sum_{i=l}^{r} b_i - \sum_{i=l}^{r} i \cdot b_i
\]

然后把

\[b_i=\sum_{j=1}^i a_j
\]

代入得：

\[(r+1) \cdot \sum_{i=l}^{r} \sum_{j=1}^i a_j - \sum_{i=l}^{r} i \cdot \sum_{j=1}^i a_j
\]

其中 \(\sum_{i=l}^{r} \sum_{j=1}^i a_j\) 是不是很眼熟！

展开得：

\[(r+1) \cdot \sum_{i=l}^{r} (r-i+1) a_i - \sum_{i=l}^{r} i \cdot (r-i+1) a_j
\]

然后就是同第一种方法得到答案啦！

n阶可以类推